¿Qué es un vértice en geometría?
Aprenda la definición de vértice en geometría, desde líneas y polígonos hasta poliedros. Explore sus propiedades, teoremas relacionados y aplicaciones del mundo real en arquitectura y diseño.
Alice Brooks
Dec 22, 2024 9 minutos leer
Al menos todos los días nos encontramos con diversas formas geométricas: edificios, por ejemplo, cuyas estructuras arquitectónicas se pueden dividir en puntos, líneas y planos; también puede haber puntos prominentes, como tejados puntiagudos, que cumplen condiciones específicas para formar lo que se llama "vértices", un concepto esencial en geometría que define los puntos donde dos curvas se encuentran o se encuentran en una intersección. ¡Investiguemos más a fondo qué son los vértices y descubramos sus propiedades!
Definición de un vértice
Los vértices son uno de los conceptos fundamentales de la geometría, ya sea en espacios bidimensionales o tridimensionales. Los vértices desempeñan un papel esencial en estos mundos, ya sea como planos bidimensionales o tridimensionales.
Para líneas y rayos
Definición:
Las líneas y los rayos son dos bloques de construcción esenciales en geometría: las líneas pueden extenderse en ambas direcciones, mientras que los rayos comienzan en un punto y continúan indefinidamente a lo largo de su curso elegido; los vértices sirven como puntos donde dos se intersecan o se encuentran; tal intersección ocurre cuando las líneas o los rayos se encuentran o se intersecan en sus extremos.
Ejemplos:
Aquí hay una imagen que representa un ángulo formado por dos rayos que se unen en un punto común y se encuentran en su vértice.
Para polígonos
Definición:
Los polígonos son figuras planas bidimensionales con lados rectos que forman figuras completamente cerradas. Un vértice de los polígonos se puede definir como el punto en el que se intersecan dos de sus lados; estos puntos de encuentro entre segmentos de línea se conocen como vértices.
Ejemplos de polígonos comunes:
Un cuadrado tiene cuatro puntos donde se intersecan sus lados, pero los triángulos solo contienen tres, los pentágonos cinco, los decágonos diez, etc.; sin embargo, a diferencia de los polígonos tradicionales, los círculos no contienen ningún punto de vértice.
Para poliedros
Definición:
Los poliedros (plural: poliedros) son formas sólidas tridimensionales que consisten en caras poligonales planas conectadas por bordes rectos para formar sus superficies; en comparación, las esferas (plural: esferas) son objetos tridimensionales caracterizados por superficies circulares sin bordes ni vértices, lo que las distingue de los poliedros en términos de métodos de construcción y formas.
Ejemplos de poliedros comunes:
Un cubo contiene ocho vértices en los puntos de intersección de sus aristas; en comparación, las pirámides tienen cinco y los prismas triangulares seis, respectivamente. Por el contrario, a diferencia de los poliedros (incluidas las esferas y los cilindros), que consisten en superficies rectas, en estas formas solo faltan los vértices.
Historia de los vértices
Geometría temprana
Los vértices siempre han jugado un papel esencial en la historia de la geometría y en las teorías contemporáneas, desde los textos matemáticos antiguos hasta la teoría contemporánea; desde la comprensión y definición de formas geométricas a través de textos matemáticos antiguos como los Elementos de Euclides hasta las aplicaciones actuales que los utilizan para identificar puntos de intersección clave dentro de construcciones geométricas como sus poliedros convexos o sólidos triádicos.
Edad media
En la Edad Media, matemáticos famosos como Al-Khwarizmi y Omar Khayyam utilizaron principios geométricos avanzados para ampliar conceptos geométricos anteriores y establecer nuevos principios geométricos. Desarrollaron su conocimiento sobre el papel de los vértices en formas más complejas, así como metodologías algebraicas para resolver problemas geométricos relacionados con ellos, enriqueciendo significativamente este campo. Al-Khwarizmi fue pionero en métodos algebraicos para resolver ecuaciones, mientras que Omar Khayyam avanzó en las ecuaciones cúbicas y sus interpretaciones geométricas, creando un puente entre el álgebra y la geometría para los futuros matemáticos.
Matemáticas modernas
Leonhard Euler realizó contribuciones revolucionarias a nuestra comprensión de los vértices a través de su trabajo pionero en teoría de grafos y topología. La formulación de Euler iluminó las relaciones geométricas dentro de los poliedros convexos que dieron lugar a conceptos topológicos; su famosa fórmula V-E+F=2 destacó estas interrelaciones dentro de los poliedros convexos al tiempo que creó nuevas ideas topológicas; su trabajo inspiró a Gustav Kirchhoff, quien realizó importantes contribuciones utilizando la teoría de grafos cuando se aplicó al análisis de circuitos eléctricos utilizando la teoría de grafos, mientras que Arthur Cayley amplió nuestra comprensión de los árboles aún más, consolidando estos conceptos en la geometría moderna.
Propiedades de un vértice
Una figura u objeto que no tiene lados ni aristas no tiene vértices.
Los vértices poseen una característica esencial: las figuras geométricas sin lados ni aristas (como puntos y círculos) no contienen vértices de manera inherente. Los vértices se forman en las intersecciones entre aristas; por lo tanto, las figuras sin aristas no tienen ningún vértice en principio.
Conectividad
Los vértices cumplen una función integral en las figuras geométricas. Conectan las aristas de los polígonos y poliedros para formar el marco de estas figuras, mientras que su conectividad garantiza la integridad estructural y la coherencia de las formas geométricas complejas.
Colinealidad y coplanaridad
Los vértices desempeñan un papel esencial en la definición de colinealidad y coplanaridad, dos propiedades esenciales para comprender las relaciones espaciales de la geometría tridimensional. Los vértices colineales se encuentran a lo largo de una línea recta idéntica, mientras que los coplanares se encuentran en un plano. Estas propiedades nos ayudan a comprender mejor las relaciones espaciales.
Teoremas relacionados con los vértices
Numerosos teoremas esenciales involucran vértices y pueden ofrecer información sobre sus propiedades y funciones. Aquí presentaremos principalmente dos de estos teoremas (el teorema de las dos orejas y la fórmula de Euler), pero siéntete libre de explorar más a fondo con Upstudy.
Teorema de las dos orejas
Orejas y bocas en polígonos:
"Oreja" se refiere a cualquier vértice con dos bordes adyacentes que forman un ángulo convexo hacia afuera; por el contrario, "boca" se refiere a vértices donde dos bordes adyacentes forman un ángulo cóncavo hacia adentro.
Explicación del teorema:
El teorema de las dos orejas establece que todo polígono simple (que no se interseca a sí mismo) con más de tres vértices tiene al menos dos orejas que pueden cortarse una a la vez en un proceso iterativo llamado "recorte de orejas" para triangular y dividirse en triángulos no superpuestos.
Ejemplo:
Consideremos un pentágono con cinco vértices denominados A, B, C, D y E; si eliminamos el vértice B de un octógono, obtendremos una forma de cuadrilátero más sencilla para realizar un análisis geométrico más detallado. Al identificar y eliminar áreas en polígonos más complejos, como un octógono, podemos simplificar su geometría para realizar un análisis más detallado.
Fórmula de Euler
Explicación:
La fórmula de Euler, V - E + F = 2, relaciona el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) que hay en los poliedros. Esta ecuación proporciona información clave sobre sus propiedades intrínsecas para fines topológicos y geométricos.
Ejemplo:
Un ejemplo común es un cubo, con sus ocho vértices, 12 aristas y seis caras; utilizando la fórmula de Euler obtenemos 8 - 12 + 6 = 2, lo que verifica el teorema de Euler. De manera similar, considere un tetraedro que tiene cuatro vértices, seis aristas y cuatro caras; aplicando la fórmula de Euler obtenemos 4 - 6 + 4 = 2, lo que también prueba su validez como teorema.
Conceptos geométricos relacionados
Ángulo del vértice
Definición:
Un ángulo de vértice se refiere a cualquier ángulo formado cuando dos lados de un polígono se encuentran en su vértice; en formas tridimensionales, este término también abarca cualquier ángulo formado en los vértices del poliedro.
Ejemplos:
El ángulo del vértice de un triángulo equilátero mide 60 grados, lo que refleja la distribución uniforme de los ángulos del polígono regular. Cada ángulo del vértice de un cuadrado mide 90 grados debido a que los lados perpendiculares se intersecan perpendicularmente, mientras que en un pentágono regular, cada ángulo del vértice mide 108. En comparación, los polígonos de aristas no muestran una distribución uniforme de ángulos, sino que utilizan las aristas como puntos que miden 120 grados cada uno en sus ángulos del vértice y 90 grados, respectivamente, en sus ángulos del vértice, lo que refleja una distribución regular.
Borde
Definición:
Una arista se define como cualquier segmento lineal que conecta dos vértices dentro de un polígono o poliedro. Las aristas son generalmente líneas rectas que definen formas bidimensionales y sólidos tridimensionales, respectivamente, y desempeñan un papel esencial en la conformación de sus estructuras y propiedades.
Ejemplos:
Mientras que los triángulos comprenden tres aristas que conectan dos de sus tres vértices, los cuadrados contienen cuatro aristas con líneas rectas que conectan vértices adyacentes; de manera similar, un cubo tiene doce conexiones de este tipo entre aristas adyacentes, mientras que los tetraedros tienen seis relaciones de este tipo entre caras adyacentes de cuatro caras.
Rostro
Definición:
Las caras son superficies planas que forman parte del límite de los objetos sólidos. Las caras suelen consistir en formas poligonales unidas por aristas. Las facies desempeñan un papel esencial en la geometría tridimensional, ya que definen formas y estructuras poliédricas.
Ejemplos:
Un cubo tiene seis caras cuadradas; un prisma rectangular equivalente tiene seis caras rectangulares idénticas en cada extremo; las pirámides pueden contener distintos números de caras dependiendo de la forma de su base; por ejemplo, una pirámide cuadrada normalmente presenta cinco superficies de forma triangular como parte de su composición.
Aplicaciones de los vértices en la vida real
Aplicaciones de los vértices en la arquitectura y la construcción
Los vértices desempeñan un papel esencial en la arquitectura y la construcción, ya que sirven para definir esquinas e intersecciones de estructuras. Los arquitectos confían en ellos al diseñar edificios para garantizar la estabilidad e integridad del diseño; en la construcción de techos, marcan los puntos donde los segmentos se cruzan a diferentes intervalos para formar picos. Los ingenieros estructurales los utilizan para optimizar el uso de materiales, tanto por motivos de seguridad como de costos; desde catedrales góticas hasta estructuras contemporáneas, los vértices ayudan a producir diseños arquitectónicos resistentes y visualmente atractivos.
Aplicaciones de los vértices en el arte y el diseño
Los vértices desempeñan un papel fundamental en el arte y el diseño. Los artistas los utilizan como puntos de la trama que definen formas que van desde polígonos básicos hasta modelos tridimensionales intrincados, mientras que los diseñadores digitales utilizan software de manipulación de vértices para la creación de gráficos digitales y para fines de animación. Además, el modelado 3D los utiliza como esqueletos de objetos, lo que permite a los diseñadores crear modelos tridimensionales realistas, o en el diseño de paisajes de videojuegos, donde la comprensión de los vértices permite diseños precisos pero atractivos.