mycor[ficcor] Exercice 1. Soit $$ (X, Y) $$ un vecteur aléatoire gaussien dans $$ \mathbb{R}^{2} $$ centré et de matrice de covariance l'identité $$ I_{2} $$. On définit les varibles aléatoires $$ Q, Z $$ et $$ U $$ suivantes : $$ Q=\frac{X-Y}{2} \quad Z=\frac{X+Y}{2} \text { et } U=\frac{1}{2}(X-Z)^{2}+\frac{1}{2}(Y-Z)^{2} $$ 1. Calculer la matrice de covariance du couple $$ (Z, Q) $$ 2. $$ Z $$ et $$ Q $$ sont elles indépendantes?

Question

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**Exercice 1**

Soit $$ (X, Y) $$ un vecteur aléatoire gaussien centré dans $$ \mathbb{R}^{2} $$ avec une matrice de covariance égale à l'identité $$ I_{2} $$. Cela implique que $$ X $$ et $$ Y $$ sont des variables aléatoires indépendantes, centrées et de variance 1.

Nous définissons les variables aléatoires suivantes :
$$
Q = \frac{X - Y}{2}, \quad Z = \frac{X + Y}{2}, \quad \text{et} \quad U = \frac{1}{2}(X - Z)^2 + \frac{1}{2}(Y - Z)^2.
$$

**1. Calcul de la matrice de covariance du couple $$ (Z, Q) $$**

La matrice de covariance $$ \Sigma_{Z,Q} $$ est donnée par :
$$
\Sigma_{Z,Q} = 
\begin{pmatrix}
\text{Var}(Z) & \text{Cov}(Z, Q) \
\text{Cov}(Q, Z) & \text{Var}(Q)
\end{pmatrix}
$$

Calculons chaque élément :

- **Variance de $$ Z $$ :**
$$
\text{Var}(Z) = \text{Var}\left( \frac{X + Y}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X,Y) \right) = \frac{1}{4}(1 + 1 + 0) = \frac{1}{2}
$$

- **Variance de $$ Q $$ :**
$$
\text{Var}(Q) = \text{Var}\left( \frac{X - Y}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 2\,\text{Cov}(X,Y) \right) = \frac{1}{4}(1 + 1 - 0) = \frac{1}{2}
$$

- **Covariance entre $$ Z $$ et $$ Q $$ :**
$$
\text{Cov}(Z, Q) = \text{Cov}\left( \frac{X + Y}{2}, \frac{X - Y}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \text{Cov}(X,X) - \text{Cov}(X,Y) + \text{Cov}(Y,X) - \text{Cov}(Y,Y) \right)
$$
$$
= \frac{1}{4} ( \text{Var}(X) - 0 + 0 - \text{Var}(Y) ) = \frac{1}{4}(1 - 1) = 0
$$

Ainsi, la matrice de covariance du couple $$ (Z, Q) $$ est :
$$
\Sigma_{Z,Q} = 
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 \
0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$

**2. Indépendance de $$ Z $$ et $$ Q $$**

Dans le cas d'un vecteur aléatoire gaussien, deux variables sont indépendantes si et seulement si elles sont non corrélées, c'est-à-dire si leur covariance est nulle.

Comme nous avons montré que $$ \text{Cov}(Z, Q) = 0 $$ et que $$ (Z, Q) $$ est un couple gaussien, il en découle que $$ Z $$ et $$ Q $$ sont indépendantes.

**Conclusion :**

1. La matrice de covariance du couple $$ (Z, Q) $$ est diagonale avec des entrées $$ \frac{1}{2} $$, soit :
$$
\Sigma_{Z,Q} = 
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 \
0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
2. Les variables aléatoires $$ Z $$ et $$ Q $$ sont indépendantes.
**Exercice 1** 1. **Matrice de covariance du couple $$ (Z, Q) $$:** $$ \Sigma_{Z,Q} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$ 2. **Indépendance de $$ Z $$ et $$ Q $$:** $$ Z $$ et $$ Q $$ sont indépendantes car leur covariance est nulle et ils sont gaussiens. **Conclusion :** - La matrice de covariance du couple $$ (Z, Q) $$ est diagonale avec des entrées $$ \frac{1}{2} $$. - $$ Z $$ et $$ Q $$ sont indépendantes.

mycor[ficcor] Exercice 1. Soit un vecteur aléatoire gaussien dans centré et de
matrice de covariance l’identité . On définit les varibles aléatoires et suivantes :

Calculer la matrice de covariance du couple

et sont elles indépendantes?

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