Самостійна робота (Метод координат) . Дано: \( A(4 ;-8), B(-12 ;-3), C(-6 ; 5) \). Знайдіть: (9 балів) ) координати точки \( H \), якщо точка \( B \) - середина відрізка \( C H \); ) довжину медіани \( A N \) в \( \triangle A B C \); ) значення \( y \) при якому відстань між точками \( C \) \( i M(-14 ; y) \) дорівнює 10 ) координати точки \( D \), якщо \( A B C D \) - паралелограм.

Для розв'язання завдань використовуємо метод координат. 1) Щоб знайти координати точки \( H \), потрібно пам'ятати, що точка \( B \) є серединою відрізка \( C H \). Тобто координати \( B \) визначаються як середні координати точок \( C \) та \( H \): \[ B_x = \frac{C_x + H_x}{2}, \quad B_y = \frac{C_y + H_y}{2} \] Підставимо відомі координати: \[ -12 = \frac{-6 + H_x}{2} \Rightarrow -24 = -6 + H_x \Rightarrow H_x = -18 \] \[ -3 = \frac{5 + H_y}{2} \Rightarrow -6 = 5 + H_y \Rightarrow H_y = -11 \] Отже, \( H(-18; -11) \). 2) Щоб знайти довжину медіани \( A N \) в трикутнику \( \triangle A B C \), спершу знайдемо координати середини сторони \( BC \) (точка \( N \)): \[ N_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{-12 + (-6)}{2} = -9, \] \[ N_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1. \] Таким чином, \( N(-9; 1) \). Далі обчислимо довжину медіани \( A N \) за формулою відстані: \[ AN = \sqrt{(A_x - N_x)^2 + (A_y - N_y)^2} = \sqrt{(4 + 9)^2 + (-8 - 1)^2} = \sqrt{13^2 + (-9)^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}. \] Таким чином, довжина медіани \( A N = 5\sqrt{10} \). 3) Щоб знайти \( y \) при якому відстань між точками \( C \) та \( M(-14; y) \) дорівнює 10, використаємо формулу відстані: \[ \sqrt{(C_x - M_x)^2 + (C_y - M_y)^2} = 10. \] Підставляючи координати: \[ \sqrt{(-6 - (-14))^2 + (5 - y)^2} = 10 \Rightarrow \sqrt{(8)^2 + (5 - y)^2} = 10. \] Квадрат обох сторін: \[ 64 + (5 - y)^2 = 100 \Rightarrow (5 - y)^2 = 36. \] Таким чином, \( 5 - y = 6 \) або \( 5 - y = -6 \), отже: 1) \( y = -1 \) 2) \( y = 11 \). Значення \( y = -1 \) або \( y = 11 \). 4) Щоб знайти координати точки \( D \), скористаємося властивістю паралелограма: координати протилежних вершин можуть бути обчислені за формулою: \[ D_x = A_x + C_x - B_x, \quad D_y = A_y + C_y - B_y. \] Підставляючи значення: \[ D_x = 4 + (-6) - (-12) = 4 + 12 - 6 = 10, \] \[ D_y = -8 + 5 - (-3) = -8 + 5 + 3 = 0. \] Отже, координати точки \( D(10; 0) \).