Esercizio 4. Sia \[ \begin{array}{l}D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0,4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} \\ \text { Calcolare } \\ \\ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\end{array} \]

Per calcolare l'integrale doppio \[ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y, \] dove \( D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \geq 0, \, 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9 \} \), è conveniente passare alle coordinate polari. ### Passaggio 1: Trasformazione in coordinate polari In coordinate polari, le coordinate cartesiane \( (x, y) \) si esprimono come: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \] dove \( r \geq 0 \) è la distanza dall'origine e \( \theta \) è l'angolo rispetto all'asse \( x \). La regione \( D \) diventa: \[ D = \left\{ (r, \theta) : 2 \leq r \leq 3, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right\}, \] poiché \( 4 \leq r^{2} \leq 9 \) implica \( 2 \leq r \leq 3 \), e \( x \geq 0 \) corrisponde a \( -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \). ### Passaggio 2: Espressione dell'integrando in coordinate polari L'integrando diventa: \[ \frac{|y| \exp(r)}{r^{2}} = \frac{|r \sin \theta| \exp(r)}{r^{2}} = \frac{r |\sin \theta| \exp(r)}{r^{2}} = \frac{|\sin \theta| \exp(r)}{r}. \] Il differenziale \( \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \) in coordinate polari è: \[ \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta. \] Quindi, l'integrale diventa: \[ \iint_{D} \frac{|\sin \theta| \exp(r)}{r} \cdot r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \iint_{D} |\sin \theta| \exp(r) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta. \] ### Passaggio 3: Calcolo dell'integrale L'integrale si separa nei due intervalli di integrazione: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin \theta| \, \mathrm{d}\theta \cdot \int_{2}^{3} \exp(r) \, \mathrm{d}r. \] #### Calcolo dell'integrale rispetto a \( r \): \[ \int_{2}^{3} \exp(r) \, \mathrm{d}r = \left[ \exp(r) \right]_{2}^{3} = \exp(3) - \exp(2). \] #### Calcolo dell'integrale rispetto a \( \theta \): Poiché \( |\sin \theta| \) è una funzione pari, possiamo semplificare l'integrazione: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin \theta| \, \mathrm{d}\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 (0 - (-1)) = 2. \] ### Passaggio 4: Risultato finale Combinando i risultati: \[ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = 2 \left( \exp(3) - \exp(2) \right). \] **Risposta Finale:** \[ 2 \left( e^{3} - e^{2} \right) \]