Esercizio 4. Sia $$ \begin{array}{l}D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0,4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} \ \text { Calcolare } \ \ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\end{array} $$

Question

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Per calcolare l'integrale doppio

$$
\iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y,
$$

dove $$ D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x \geq 0, \, 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9 \} $$, è conveniente passare alle coordinate polari.

### Passaggio 1: Trasformazione in coordinate polari

In coordinate polari, le coordinate cartesiane $$ (x, y) $$ si esprimono come:
$$
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta,
$$
dove $$ r \geq 0 $$ è la distanza dall'origine e $$ \theta $$ è l'angolo rispetto all'asse $$ x $$.

La regione $$ D $$ diventa:
$$
D = \left\{ (r, \theta) : 2 \leq r \leq 3, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right\},
$$
poiché $$ 4 \leq r^{2} \leq 9 $$ implica $$ 2 \leq r \leq 3 $$, e $$ x \geq 0 $$ corrisponde a $$ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $$.

### Passaggio 2: Espressione dell'integrando in coordinate polari

L'integrando diventa:
$$
\frac{|y| \exp(r)}{r^{2}} = \frac{|r \sin \theta| \exp(r)}{r^{2}} = \frac{r |\sin \theta| \exp(r)}{r^{2}} = \frac{|\sin \theta| \exp(r)}{r}.
$$

Il differenziale $$ \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $$ in coordinate polari è:
$$
\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta.
$$

Quindi, l'integrale diventa:
$$
\iint_{D} \frac{|\sin \theta| \exp(r)}{r} \cdot r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \iint_{D} |\sin \theta| \exp(r) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta.
$$

### Passaggio 3: Calcolo dell'integrale

L'integrale si separa nei due intervalli di integrazione:
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin \theta| \, \mathrm{d}\theta \cdot \int_{2}^{3} \exp(r) \, \mathrm{d}r.
$$

#### Calcolo dell'integrale rispetto a $$ r $$:
$$
\int_{2}^{3} \exp(r) \, \mathrm{d}r = \left[ \exp(r) \right]_{2}^{3} = \exp(3) - \exp(2).
$$

#### Calcolo dell'integrale rispetto a $$ \theta $$:
Poiché $$ |\sin \theta| $$ è una funzione pari, possiamo semplificare l'integrazione:
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin \theta| \, \mathrm{d}\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 (0 - (-1)) = 2.
$$

### Passaggio 4: Risultato finale

Combinando i risultati:
$$
\iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = 2 \left( \exp(3) - \exp(2) \right).
$$

**Risposta Finale:**
$$
2 \left( e^{3} - e^{2} \right)
$$
L'integrale doppio si calcola come $$ 2 \times (e^{3} - e^{2}) $$.

Esercizio 4. Sia

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