किसी त्रिभुज की भूजाओ का अनुपात $$ 12: 17: 25 $$ है तथा परिमाप 540 cm . है। इसका क्षैप्रफल ज्ञात करो।

Question

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त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात $$12 : 17 : 25$$ दिया गया है और परिमाप $$540 \, \text{सेमी}$$ है। इसके क्षेत्रफल (क्षेत्रफल) को ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण अपनाएंगे:

1. **भुजाओं का मान ज्ञात करना:**
   - मान लीजिए कि भुजाओं के अनुपात के लिए सामान्य गुणांक $$k$$ है।
   - तो, भुजाएँ होंगी:
     $$
     12k, \quad 17k, \quad 25k
     $$
   - परिमाप के अनुसार:
     $$
     12k + 17k + 25k = 54k = 540 \, \text{सेमी} \implies k = \frac{540}{54} = 10
     $$
   - अतः, भुजाएँ हैं:
     $$
     120 \, \text{सेमी}, \quad 170 \, \text{सेमी}, \quad 250 \, \text{सेमी}
     $$

2. **त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना (हेरॉन का सूत्र):**
   - सबसे पहले, त्रिभुज का अर्धपरिमाप ($$s$$) ज्ञात करें:
     $$
     s = \frac{120 + 170 + 250}{2} = 270 \, \text{सेमी}
     $$
   - हेरॉन का सूत्र:
     $$
     \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
     $$
     जहाँ $$a = 120 \, \text{सेमी}$$, $$b = 170 \, \text{सेमी}$$, और $$c = 250 \, \text{सेमी}$$।
   - गणना करें:
     $$
     \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{270 \times (270 - 120) \times (270 - 170) \times (270 - 250)} = \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} = \sqrt{81,000,000} = 9,000 \, \text{वर्ग सेमी}
     $$

**अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल $$9{,}000 \, \text{वर्ग सेमी}$$ है।**
त्रिभुज का क्षेत्रफल $$9{,}000 \, \text{वर्ग सेमी}$$ है।

किसी त्रिभुज की भूजाओ का अनुपात है तथा
परिमाप 540 cm . है। इसका क्षैप्रफल ज्ञात करो।

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