9. $$ g(x)=\sin \left(x^{2}+1\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, analicemos la función $$ g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) $$.

### 1. Dominio
La función seno está definida para todos los números reales. Además, el argumento $$ x^{2} + 1 $$ también está definido para todo $$ x $$ real. Por lo tanto, el dominio de $$ g(x) $$ es:

$$
\text{Dominio de } g(x): \quad \mathbb{R} \quad (\text{todos los reales})
$$

### 2. Rango
La función seno oscila entre -1 y 1 para cualquier argumento real. Por lo tanto, el rango de $$ g(x) $$ es:

$$
\text{Rango de } g(x): \quad [-1, 1]
$$

### 3. Derivada
Para encontrar la derivada de $$ g(x) $$, utilizamos la regla de la cadena. Sea $$ u(x) = x^{2} + 1 $$, entonces:

$$
g(x) = \sin(u)
$$

La derivada de $$ g $$ respecto a $$ x $$ es:

$$
g'(x) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x = 2x \cos\left(x^{2} + 1\right)
$$

### 4. Comportamiento y Gráfica
La función $$ g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) $$ combina una función polinómica dentro del seno. A medida que $$ |x| $$ aumenta, $$ x^{2} + 1 $$ también aumenta rápidamente, lo que resulta en una oscilación más acelerada de la función seno.

**Características principales:**
- **Periodicidad:** No es periódica debido al término $$ x^{2} $$ que hace que el argumento de la función seno no repita intervalos fijos.
- **Simetría:** La función es par, ya que reemplazar $$ x $$ por $$ -x $$ no cambia el valor de la función:
  
  $$
  g(-x) = \sin\left{((-x)^{2} + 1\right)} = \sin\left(x^{2} + 1\right) = g(x)
  $$

### 5. Puntos Críticos
Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero:

$$
2x \cos\left(x^{2} + 1\right) = 0
$$

Esto ocurre cuando:
- $$ 2x = 0 $$ ⟹ $$ x = 0 $$
- $$ \cos\left(x^{2} + 1\right) = 0 $$ ⟹ $$ x^{2} + 1 = \frac{\pi}{2} + k\pi $$, donde $$ k $$ es un entero.

### 6. Aplicaciones
Funciones como $$ g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) $$ aparecen en diversas áreas de la física y la ingeniería, especialmente en contextos que involucran oscilaciones no lineales y fenómenos de ondas con frecuencias que dependen de la posición.

Si tienes alguna pregunta específica sobre esta función o necesitas más detalles, ¡no dudes en preguntar!
La función $$ g(x) = \sin\left(x^{2} + 1\right) $$ tiene el dominio de todos los números reales y un rango entre -1 y 1. Su derivada es $$ g'(x) = 2x \cos\left(x^{2} + 1\right) $$. La función es par y no periódica. Tiene un punto crítico en $$ x = 0 $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. Dominio

2. Rango

3. Derivada

4. Comportamiento y Gráfica

5. Puntos Críticos

6. Aplicaciones

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions