Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-13 \ -6 \ -13\end{array} ight)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \ 7 \ -6\end{array} ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}:-6 x_{1}-6 x_{2}-7 x_{3}=84 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt D( $$ \square $$ 1 $$ \square $$ I $$ \square $$ ) Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d = $$ \square $$ Gerade ist Teil der Ebene lösen Ich möchte nur die L (oh

Question

Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-13 \ -6 \ -13\end{array}ight)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \ 7 \ -6\end{array}ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}:-6 x_{1}-6 x_{2}-7 x_{3}=84 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt D( $$ \square $$ 1 $$ \square $$ I $$ \square $$ ) Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d = $$ \square $$ Gerade ist Teil der Ebene lösen Ich möchte nur die L (oh

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Die Gerade $$ \mathrm{g} $$ ist parallel zur Ebene $$ \mathrm{E} $$, und der Abstand der Gerade von der Ebene beträgt $$ d = 11 $$.

**Lösung:**

1. **Bestimmung der Parallelität:**
   - **Richtungsvektor der Gerade:** $$ \vec{d} = \begin{pmatrix} 0 \ 7 \ -6 \end{pmatrix} $$
   - **Normalenvektor der Ebene:** $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} -6 \ -6 \ -7 \end{pmatrix} $$
   - **Skalarprodukt:** $$ \vec{n} \cdot \vec{d} = (-6) \cdot 0 + (-6) \cdot 7 + (-7) \cdot (-6) = 0 - 42 + 42 = 0 $$
   - Da das Skalarprodukt null ist, sind die Gerade und die Ebene parallel.

2. **Berechnung des Abstands $$ d $$:**
   - **Punkt auf der Gerade:** $$ P_0 = \begin{pmatrix} -13 \ -6 \ -13 \end{pmatrix} $$
   - **Ebengleichung umgestellt:** $$ -6x_1 - 6x_2 - 7x_3 - 84 = 0 $$
   - **Abstandsformel:**
     $$
     d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P_0} + D|}{\|\vec{n}\|}
     $$
     $$
     \vec{n} \cdot \vec{P_0} = (-6)(-13) + (-6)(-6) + (-7)(-13) = 78 + 36 + 91 = 205
     $$
     $$
     d = \frac{|205 - 84|}{\sqrt{(-6)^2 + (-6)^2 + (-7)^2}} = \frac{121}{11} = 11
     $$

**Endergebnis:**

- **Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene $$ d = 11 $$.**
Die Gerade $$ \mathrm{g} $$ ist parallel zur Ebene $$ \mathrm{E} $$, und der Abstand der Gerade von der Ebene beträgt $$ d = 11 $$.

Aufgabe: (2 Punkte)
Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade mit der Ebene Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.
Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt D( 1 I )
Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d =
Gerade ist Teil der Ebene
lösen
Ich möchte nur die L
(oh

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