The straight line $$ l_{1} $$ with equation $$ x-2 y+10=0 $$ meets the circle with equation $$ x^{2}+y^{2}=100 $$ at $$ B $$ in the first quadrant. A line through $$ B $$, perpen- dicular to $$ l_{1} $$, cuts the $$ y $$-axis at $$ P(0 ; t) $$. Determine the value of $$ t $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideriamo la retta l₁ di equazione

x - 2y + 10 = 0

e il cerchio di equazione

x² + y² = 100.

Il punto B, in primo quadrante, è l'intersezione di questi due insiemi.

1. Troviamo B:

Dalla retta l₁ esprimiamo x in funzione di y:
   x = 2y - 10.

Sostituiamo in x² + y² = 100:
   (2y - 10)² + y² = 100
   4y² - 40y + 100 + y² = 100
   5y² - 40y + 100 - 100 = 0
   5y² - 40y = 0
   5y(y - 8) = 0.

Si ottengono y = 0 oppure y = 8. Poiché B è nel primo quadrante (x > 0 e y > 0), scartiamo y = 0 e prendiamo y = 8.

Calcoliamo x:
   x = 2 · 8 - 10 = 16 - 10 = 6.

Quindi, B = (6, 8).

2. Troviamo l'equazione della retta passante per B e perpendicolare a l₁:

La pendenza della retta l₁, scrivendo l'equazione in forma esplicita, è:
   x - 2y + 10 = 0 ⟹ -2y = -x - 10 ⟹ y = (x + 10)/2.
   La pendenza di l₁ è m₁ = 1/2.

La retta perpendicolare a l₁ passerà per B e avrà pendenza:
   m₂ = -1/(m₁) = -1/(1/2) = -2.

Quindi, l'equazione della retta che passa per B(6, 8) è:
   y - 8 = -2(x - 6).

3. Troviamo il punto P, intersezione di questa retta con l'asse y (cioè, dove x = 0):

Sostituiamo x = 0:
   y - 8 = -2(0 - 6) = -2(-6) = 12 ⟹ y = 8 + 12 = 20.

Pertanto, P = (0, 20).

La coordinata t, corrispondente all’ordinata del punto P, è dunque:

t = 20.
La coordinata $$ t $$ è 20.

The straight line with equation
meets the circle with equation at
in the first quadrant. A line through , perpen-
dicular to , cuts the -axis at . Determine
the value of .

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