9. Найдите наименьшее значение функции \( y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-6 x+9 \) на отрезке \( [27 ; 46] \)

Наименьшее значение функции \( y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 6x + 9 \) на отрезке \([27; 46]\) достигается при \( x = 36 \). **Пояснение:** 1. **Найдем производную функции:** \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 6x + 9\right) = x^{\frac{1}{2}} - 6 \] 2. **Найдём критические точки:** \[ y' = 0 \Rightarrow x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 \Rightarrow x = 36 \] Критическая точка \( x = 36 \) принадлежит заданному отрезку \([27; 46]\). 3. **Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:** - Для \( x = 27 \): \[ y(27) = \frac{2}{3} \cdot 27^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 27 + 9 = \frac{2}{3} \cdot 140.296 \approx 93.530 - 162 + 9 \approx -59.47 \] - Для \( x = 36 \): \[ y(36) = \frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 36 + 9 = \frac{2}{3} \cdot 216 - 216 + 9 = 144 - 216 + 9 = -63 \] - Для \( x = 46 \): \[ y(46) = \frac{2}{3} \cdot 46^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 46 + 9 \approx \frac{2}{3} \cdot 311.983 \approx 207.989 - 276 + 9 \approx -59.011 \] 4. **Сравнивая значения:** \[ y(27) \approx -59.47, \quad y(36) = -63, \quad y(46) \approx -59.01 \] Наименьшее значение функции равно \(-63\) и достигается при \( x = 36 \). **Ответ:** Наименьшее значение функции равно −63 при \( x = 36 \).