EXAMEN-INGRESO 1-2025 IOp ARITMETICA - ALGEBRA A1. Hallar el valor de \( E=\frac{x^{-1}+11}{x} \), sabiendo que \( x \) es solución de la ecuación: \[ \frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1} \] a) \( 64 / 89 \) b) 152 . c) \( 89 / 64 \) d) 154 e) Ninguno A2. Halla la solución \( x \) tal que \( x \geq 5 \) de la ecuación \( \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 \) a) 2 b) 7 - c) 6 d) 8 e) Ninguno A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación. \[ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 \] a) \( 14 / 9 \), b) \( 15 / 7 \) c) \( 4 / 3 \) d) \( 20 / 9 \) e) Ninguno A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial: a) \( \ln \left(\frac{12}{12}\right) \) b) \( -\ln \left(\frac{12}{17}\right) \) \[ \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7} \] c) \( \ln \left(\frac{13}{11}\right) \) d) \( -\ln \left(\frac{13}{11}\right) \) e) Ninguno-

Claro, a continuación se presentan las soluciones detalladas para cada una de las preguntas del examen: --- **A1. Hallar el valor de \( E=\frac{x^{-1}+11}{x} \), sabiendo que \( x \) es solución de la ecuación:** \[ \frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1} \] **Solución:** 1. **Resolver la ecuación para \( x \):** \[ \frac{3}{(2x -1)(2x +1)} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1} \] Multiplicando ambos lados por \((2x -1)(2x+1)\): \[ 3 - (2x -1) = 3(2x +1) \] Simplificando: \[ 4 - 2x = 6x + 3 \quad \Rightarrow \quad 8x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8} \] 2. **Calcular \( E \):** \[ E = \frac{x^{-1} + 11}{x} = \frac{\frac{1}{x} + 11}{x} = \frac{1 + 11x}{x^2} \] Sustituyendo \( x = \frac{1}{8} \): \[ E = \frac{1 + \frac{11}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^2} = \frac{\frac{19}{8}}{\frac{1}{64}} = 19 \times 8 = 152 \] **Respuesta:** **b) \(152\)** --- **A2. Halla la solución \( x \) tal que \( x \geq 5 \) de la ecuación \( \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 \)** **Solución:** 1. **Simplificar la ecuación logarítmica:** \[ \log_2[(x+1)(3x -5)] = \log_2(5x -3) + 2 \] \[ \log_2[(x+1)(3x -5)] = \log_2[4(5x -3)] \] Por lo tanto: \[ (x+1)(3x -5) = 20x -12 \] 2. **Resolver la ecuación cuadrática:** \[ 3x^2 - 2x -5 = 20x -12 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 -22x +7 =0 \] Aplicando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{484 -84}}{6} = \frac{22 \pm 20}{6} \] Soluciones: \[ x = 7 \quad \text{y} \quad x = \frac{1}{3} \] Solo \( x = 7 \) cumple con \( x \geq 5 \). **Respuesta:** **b) \(7\)** --- **A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación.** \[ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 \] **Solución:** 1. **Elevar al cuadrado ambos lados:** \[ (\sqrt{2-3x} + \sqrt{11+3x})^2 = 25 \] Expandiendo: \[ 2 - 3x + 11 + 3x + 2\sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 25 \quad \Rightarrow \quad 13 + 2\sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 25 \] \[ 2\sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 12 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 6 \] Elevando nuevamente al cuadrado: \[ (2-3x)(11+3x) = 36 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 +27x +14=0 \] 2. **Resolver la ecuación cuadrática:** \[ 9x^2 +27x +14=0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-27 \pm \sqrt{729 -504}}{18} = \frac{-27 \pm 15}{18} \] Soluciones: \[ x = -\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{3} \] 3. **Calcular el producto de las soluciones:** \[ \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9} \] **Respuesta:** **a) \( \frac{14}{9} \)** --- **A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial:** \[ \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7} \] **Solución:** 1. **Resolver la ecuación para \( y \):** \[ \frac{e^y -1}{2 -3e^y} = \frac{2}{7} \] Multiplicando cruzado: \[ 7(e^y -1) = 2(2 -3e^y) \] \[ 7e^y -7 = 4 -6e^y \] \[ 13e^y = 11 \quad \Rightarrow \quad e^y = \frac{11}{13} \] Tomando logaritmo natural en ambos lados: \[ y = \ln\left(\frac{11}{13}\right) = -\ln\left(\frac{13}{11}\right) \] **Respuesta:** **d) \( -\ln \left(\frac{13}{11}\right) \)** --- Espero que estas soluciones te sean de ayuda para tu preparación. ¡Éxito en tu examen!