EXAMEN-INGRESO 1-2025 IOp ARITMETICA - ALGEBRA A1. Hallar el valor de $$ E=\frac{x^{-1}+11}{x} $$, sabiendo que $$ x $$ es solución de la ecuación: $$ \frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1} $$ a) $$ 64 / 89 $$ b) 152 . c) $$ 89 / 64 $$ d) 154 e) Ninguno A2. Halla la solución $$ x $$ tal que $$ x \geq 5 $$ de la ecuación $$ \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 $$ a) 2 b) 7 - c) 6 d) 8 e) Ninguno A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación. $$ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 $$ a) $$ 14 / 9 $$, b) $$ 15 / 7 $$ c) $$ 4 / 3 $$ d) $$ 20 / 9 $$ e) Ninguno A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial: a) $$ \ln \left(\frac{12}{12}\right) $$ b) $$ -\ln \left(\frac{12}{17}\right) $$ $$ \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7} $$ c) $$ \ln \left(\frac{13}{11}\right) $$ d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$ e) Ninguno-

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, a continuación se presentan las soluciones detalladas para cada una de las preguntas del examen:

---

**A1. Hallar el valor de $$ E=\frac{x^{-1}+11}{x} $$, sabiendo que $$ x $$ es solución de la ecuación:**
$$
\frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1}
$$

**Solución:**

1. **Resolver la ecuación para $$ x $$:**
   
   $$
   \frac{3}{(2x -1)(2x +1)} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
   $$
   
   Multiplicando ambos lados por $$(2x -1)(2x+1)$$:
   
   $$
   3 - (2x -1) = 3(2x +1)
   $$
   
   Simplificando:
   
   $$
   4 - 2x = 6x + 3 \quad \Rightarrow \quad 8x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8}
   $$
   
2. **Calcular $$ E $$:**
   
   $$
   E = \frac{x^{-1} + 11}{x} = \frac{\frac{1}{x} + 11}{x} = \frac{1 + 11x}{x^2}
   $$
   
   Sustituyendo $$ x = \frac{1}{8} $$:
   
   $$
   E = \frac{1 + \frac{11}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^2} = \frac{\frac{19}{8}}{\frac{1}{64}} = 19 \times 8 = 152
   $$
   
**Respuesta:**  
**b) $$152$$**

---

**A2. Halla la solución $$ x $$ tal que $$ x \geq 5 $$ de la ecuación $$ \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 $$**

**Solución:**

1. **Simplificar la ecuación logarítmica:**
   
   $$
   \log_2[(x+1)(3x -5)] = \log_2(5x -3) + 2
   $$
   
   $$
   \log_2[(x+1)(3x -5)] = \log_2[4(5x -3)]
   $$
   
   Por lo tanto:
   
   $$
   (x+1)(3x -5) = 20x -12
   $$
   
2. **Resolver la ecuación cuadrática:**
   
   $$
   3x^2 - 2x -5 = 20x -12 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 -22x +7 =0
   $$
   
   Aplicando la fórmula cuadrática:
   
   $$
   x = \frac{22 \pm \sqrt{484 -84}}{6} = \frac{22 \pm 20}{6}
   $$
   
   Soluciones:
   
   $$
   x = 7 \quad \text{y} \quad x = \frac{1}{3}
   $$
   
   Solo $$ x = 7 $$ cumple con $$ x \geq 5 $$.
   
**Respuesta:**  
**b) $$7$$**

---

**A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación.**
$$
\sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5
$$

**Solución:**

1. **Elevar al cuadrado ambos lados:**
   
   $$
   (\sqrt{2-3x} + \sqrt{11+3x})^2 = 25
   $$
   
   Expandiendo:
   
   $$
   2 - 3x + 11 + 3x + 2\sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 25 \quad \Rightarrow \quad 13 + 2\sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 25
   $$
   
   $$
   2\sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 12 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(2-3x)(11+3x)} = 6
   $$
   
   Elevando nuevamente al cuadrado:
   
   $$
   (2-3x)(11+3x) = 36 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 +27x +14=0
   $$
   
2. **Resolver la ecuación cuadrática:**
   
   $$
   9x^2 +27x +14=0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-27 \pm \sqrt{729 -504}}{18} = \frac{-27 \pm 15}{18}
   $$
   
   Soluciones:
   
   $$
   x = -\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{3}
   $$
   
3. **Calcular el producto de las soluciones:**
   
   $$
   \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9}
   $$
   
**Respuesta:**  
**a) $$ \frac{14}{9} $$**

---

**A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial:**
$$
\frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7}
$$

**Solución:**

1. **Resolver la ecuación para $$ y $$:**
   
   $$
   \frac{e^y -1}{2 -3e^y} = \frac{2}{7}
   $$
   
   Multiplicando cruzado:
   
   $$
   7(e^y -1) = 2(2 -3e^y)
   $$
   
   $$
   7e^y -7 = 4 -6e^y
   $$
   
   $$
   13e^y = 11 \quad \Rightarrow \quad e^y = \frac{11}{13}
   $$
   
   Tomando logaritmo natural en ambos lados:
   
   $$
   y = \ln\left(\frac{11}{13}\right) = -\ln\left(\frac{13}{11}\right)
   $$
   
**Respuesta:**  
**d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$**

---

Espero que estas soluciones te sean de ayuda para tu preparación. ¡Éxito en tu examen!
**A1.** La solución de la ecuación es $$ x = \frac{1}{8} $$. Entonces, $$ E = \frac{x^{-1} + 11}{x} = 152 $$. **Respuesta:** b) $$152$$ **A2.** La solución es $$ x = 7 $$. **Respuesta:** b) $$7$$ **A3.** Las soluciones son $$ x = -\frac{2}{3} $$ y $$ x = -\frac{7}{3} $$. El producto de las soluciones es $$ \frac{14}{9} $$. **Respuesta:** a) $$ \frac{14}{9} $$ **A4.** La solución es $$ y = -\ln\left(\frac{13}{11}\right) $$. **Respuesta:** d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions