En utilisant la méthode des disques, calculez le volume du solide formé en tournant la région au-dessus de $$ y = ext{\cos}(x) $$ et en dessous de $$ y = 0 $$ sur l'intervalle $$ [0, \frac{\beta}{2}] $$ autour de l'axe des x.

Question

En utilisant la méthode des disques, calculez le volume du solide formé en tournant la région au-dessus de $$ y = 	ext{\cos}(x) $$ et en dessous de $$ y = 0 $$ sur l'intervalle $$ [0, \frac{\beta}{2}] $$ autour de l'axe des x.

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour calculer le volume du solide formé en tournant la région au-dessus de

et en dessous de

sur l’intervalle

, nous utilisons la méthode des disques.

Le volume

est donné par l’intégrale suivante :

Pour évaluer cette intégrale, nous utilisons l’identité trigonométrique

. Cela nous donne :

En intégrant, nous obtenons :

Donc, le volume du solide est :

### Étapes de calcul :

1. **Définition de l'aire à tourner :**
   La région considérée est délimitée par $$ y = \cos(x) $$ et $$ y = 0 $$ sur l’intervalle $$ [0, \frac{\beta}{2}] $$.

2. **Formule du volume par la méthode des disques :**
   Lorsqu'une région entre $$ y = f(x) $$ et $$ y = g(x) $$ est tournée autour de l'axe des $$ x $$, le volume $$ V $$ est donné par :
   $$
   V = \pi \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)]^2 \, dx
   $$
   Ici, $$ f(x) = \cos(x) $$ et $$ g(x) = 0 $$, donc la formule se simplifie en :
   $$
   V = \pi \int_{0}^{\frac{\beta}{2}} \cos^2(x) \, dx
   $$

3. **Calcul de l’intégrale :**
   Utilisons l'identité trigonométrique pour simplifier $$ \cos^2(x) $$ :
   $$
   \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
   $$
   Ainsi, l'intégrale devient :
   $$
   V = \pi \int_{0}^{\frac{\beta}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\beta}{2}} \left(1 + \cos(2x)\right) \, dx
   $$
   Intégrons terme à terme :
   $$
   \int_{0}^{\frac{\beta}{2}} 1 \, dx = \left. x \right|_{0}^{\frac{\beta}{2}} = \frac{\beta}{2}
   $$
   $$
   \int_{0}^{\frac{\beta}{2}} \cos(2x) \, dx = \left. \frac{\sin(2x)}{2} \right|_{0}^{\frac{\beta}{2}} = \frac{\sin(\beta)}{2} - 0 = \frac{\sin(\beta)}{2}
   $$
   Donc :
   $$
   V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\beta}{2} + \frac{\sin(\beta)}{2} \right) = \frac{\pi}{4} \left( \beta + \sin(\beta) \right)
   $$

### Résultat final :

Le volume du solide est donné par :
$$
V = \frac{\pi}{4} \left( \beta + \sin(\beta) \right)
$$
Le volume du solide est $$ V = \frac{\pi}{4} (\beta + \sin(\beta)) $$.

En utilisant la méthode des disques, calculez le volume du solide formé en tournant la région au-dessus de et en dessous de sur l’intervalle autour de l’axe des x.

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