$$ \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x=e^{x}+1}{\left(e^{x}+1\right) x} $$ et-elle desinbieen 0 ?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Il semble qu'il y ait une petite confusion ou une erreur de frappe dans l'expression que vous avez fournie. Je vais interpréter votre limite comme suit :

$$
\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{x - e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) x}
$$

**Étapes de calcul :**

1. **Évaluation directe :**

Pour $$ x $$ approchant de 0, substituons $$ x = 0 $$ dans le numérateur et le dénominateur :

- **Numérateur :** $$ 0 - e^{0} + 1 = 0 - 1 + 1 = 0 $$
   - **Dénominateur :** $$ (e^{0} + 1) \times 0 = (1 + 1) \times 0 = 0 $$

Cela nous donne une forme indéterminée $$ \frac{0}{0} $$, ce qui justifie l'utilisation de la règle de L'Hôpital.

2. **Application de la règle de L'Hôpital :**

Calculons les dérivées du numérateur et du dénominateur par rapport à $$ x $$.

- **Dérivée du numérateur :**
     $$
     \frac{d}{dx}(x - e^{x} + 1) = 1 - e^{x}
     $$
   
   - **Dérivée du dénominateur :**
     $$
     \frac{d}{dx}[(e^{x} + 1) x] = e^{x} \cdot x + (e^{x} + 1) \cdot 1 = e^{x}x + e^{x} + 1
     $$
   
   Ainsi, la limite devient :
   $$
   \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - e^{x}}{e^{x}x + e^{x} + 1}
   $$

3. **Évaluation après dérivation :**

Substituons $$ x = 0 $$ dans la nouvelle expression :

- **Numérateur :** $$ 1 - e^{0} = 1 - 1 = 0 $$
   - **Dénominateur :** $$ e^{0} \times 0 + e^{0} + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 $$
   
   Donc, la limite devient :
   $$
   \frac{0}{2} = 0
   $$

**Conclusion :**

Ainsi, la limite est égale à **0**.

Oui, la limite tend bien vers 0.
La limite est égale à 0.

et-elle desinbieen 0 ?

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