4. (15б) Выясните, является ли функция $$ z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+2 y+1\right) $$ решением уравнения $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим функцию $$ z = \ln(x^{2} + y^{2} + 2y + 1) $$. Для проверки, является ли она решением уравнения Лапласа
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0,
$$
необходимо вычислить вторые частные производные функции $$ z $$ по переменным $$ x $$ и $$ y $$ и проверить их сумму.

1. **Упрощение выражения под логарифмом:**
   $$
   x^{2} + y^{2} + 2y + 1 = x^{2} + (y + 1)^{2}.
   $$
   Тогда функция принимает вид:
   $$
   z = \ln(x^{2} + (y + 1)^{2}).
   $$

2. **Вычисление первой и второй производных по $$ x $$:**
   $$
   \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^{2} + (y + 1)^{2}},
   $$
   $$
   \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{2(x^{2} + (y + 1)^{2}) - 4x^{2}}{(x^{2} + (y + 1)^{2})^{2}} = \frac{2(y + 1)^{2} - 2x^{2}}{(x^{2} + (y + 1)^{2})^{2}}.
   $$

3. **Вычисление первой и второй производных по $$ y $$:**
   $$
   \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2(y + 1)}{x^{2} + (y + 1)^{2}},
   $$
   $$
   \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{2(x^{2} + (y + 1)^{2}) - 4(y + 1)^{2}}{(x^{2} + (y + 1)^{2})^{2}} = \frac{2x^{2} - 2(y + 1)^{2}}{(x^{2} + (y + 1)^{2})^{2}}.
   $$

4. **Сумма вторых производных:**
   $$
   \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{2(y + 1)^{2} - 2x^{2}}{(x^{2} + (y + 1)^{2})^{2}} + \frac{2x^{2} - 2(y + 1)^{2}}{(x^{2} + (y + 1)^{2})^{2}} = 0.
   $$

Так как сумма вторых производных равна нулю, функция $$ z = \ln(x^{2} + y^{2} + 2y + 1) $$ удовлетворяет уравнению Лапласа.

**Вывод:** Да, функция $$ z = \ln(x^{2} + y^{2} + 2y + 1) $$ является решением уравнения $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0 $$.
Функция $$ z = \ln(x^{2} + y^{2} + 2y + 1) $$ является решением уравнения $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0 $$.

(15б) Выясните, является ли функция решением уравнения

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions