21 (Mackenzie-SP) Na igualdade $$ y=\frac{1}{\sqrt{1-2^{x}}} $$ se $$ x $$ assumir o maior valor inteiro possí- vel, então $$ \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} $$ será: $$ \begin{array}{lll}\text { a) } 1 & \text { c) } 2 & \text { e) } 3 \ \text { b) } 1,5 & \text { d) } 2,5 & \end{array} $$

Question

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Para resolver a equação $$ y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2^x}} $$, precisamos primeiro determinar o maior valor inteiro que $$ x $$ pode assumir, de modo que a expressão dentro da raiz quadrada permaneça positiva.

A condição para que a raiz quadrada seja válida é:

$$
1 - 2^x > 0
$$

Isso implica que:

$$
1 > 2^x
$$

Ou seja:

$$
2^x < 1
$$

Sabemos que $$ 2^x $$ é uma função crescente. O maior valor inteiro de $$ x $$ que satisfaz essa desigualdade é $$ x = 0 $$, pois:

$$
2^0 = 1
$$

Para $$ x = 0 $$:

$$
2^0 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 - 2^0 = 1 - 1 = 0
$$

Portanto, o maior valor inteiro que $$ x $$ pode assumir é $$ x = -1 $$, pois:

$$
2^{-1} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 1 - 2^{-1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0
$$

Agora, substituindo $$ x = -1 $$ na equação para encontrar $$ y $$:

$$
y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2^{-1}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}
$$

Agora temos $$ x = -1 $$ e $$ y = \sqrt{2} $$. Precisamos calcular $$ x^2 + y^2 $$:

$$
x^2 = (-1)^2 = 1
$$
$$
y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2
$$

Portanto:

$$
x^2 + y^2 = 1 + 2 = 3
$$

Assim, a resposta correta é:

$$
\text{e) } 3
$$
A resposta correta é e) 3.

21 (Mackenzie-SP) Na igualdade

se assumir o maior valor inteiro possí-
vel, então será:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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