F.4 Rexens, a tharde d' um mablealy de signes, fes intquationss suivantes : a) (1) $$ x \in \mathbb{8}, \frac{x+3}{x+1} \leq 0 $$; b) (1) $$ x \in \mathbb{R}, \frac{x+4}{x-6}0 $$

Question

F.4 Rexens, a tharde d' um mablealy de signes, fes intquationss suivantes : a) (1) $$ x \in \mathbb{8}, \frac{x+3}{x+1} \leq 0 $$; b) (1) $$ x \in \mathbb{R}, \frac{x+4}{x-6}>0 $$

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**a)** On résout l'inéquation $$ \frac{x+3}{x+1} \leq 0. $$ 1. **Domaine de définition :** Le dénominateur s'annule pour $$ x+1=0 $$ soit $$ x=-1 $$. Le domaine est donc $$ \mathbb{R}\setminus\{-1\} $$. 2. **Recherche des zéros :** Le numérateur s'annule pour $$ x+3=0 $$ soit $$ x=-3 $$. 3. **Étude du signe :** Les valeurs critiques sont $$ x=-3 $$ et $$ x=-1 $$. On considère les intervalles suivants : - Pour $$ x<-3 $$ : $$ x+3<0 $$ et $$ x+1<0 $$ donc le quotient est positif. - Pour $$ -30 $$ et $$ x+1<0 $$ donc le quotient est négatif. - Pour $$ x>-1 $$ : $$ x+3>0 $$ et $$ x+1>0 $$ donc le quotient est positif. 4. **Conclusion de l'inéquation :** L'inéquation $$\frac{x+3}{x+1} \leq 0$$ se réalise quand le quotient est négatif ou nul. - Le quotient est négatif pour $$ -3 0. \] 1. **Domaine de définition :** Le dénominateur s'annule pour $$ x-6=0 $$ soit $$ x=6 $$. Le domaine est donc $$ \mathbb{R}\setminus\{6\} $$. 2. **Recherche des zéros :** Le numérateur s'annule pour $$ x+4=0 $$ soit $$ x=-4 $$. 3. **Étude du signe :** Les valeurs critiques sont $$ x=-4 $$ et $$ x=6 $$. On considère les intervalles suivants : - Pour $$ x<-4 $$ : $$ x+4<0 $$ et $$ x-6<0 $$ donc le quotient est positif (négatif sur négatif). - Pour $$ -40 $$ et $$ x-6<0 $$ donc le quotient est négatif. - Pour $$ x>6 $$ : $$ x+4>0 $$ et $$ x-6>0 $$ donc le quotient est positif. 4. **Conclusion de l'inéquation :** L'inéquation $$\frac{x+4}{x-6} > 0$$ se réalise quand le quotient est positif. Ainsi, on a : $$ x\in(-\infty,-4) \quad \text{ou} \quad x\in(6,\infty). $$ On exclut $$ x=-4 $$ (car le quotient s'annule) et $$ x=6 $$ (non défini). La solution est donc : $$ x \in (-\infty, -4) \cup (6, \infty). $$ **a)** L'inéquation $$\frac{x+3}{x+1} \leq 0$$ a pour solution $$ x \in [-3, -1) $$. **b)** L'inéquation $$\frac{x+4}{x-6} > 0$$ a pour solution $$ x \in (-\infty, -4) \cup (6, \infty) $$.

F.4 Rexens, a tharde d’ um mablealy de signes, fes intquationss suivantes :
a) (1) $𝟠$ ;
b) (1)

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