1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por \( (2,-5) \) y a) tiene pendiente -3 b) es paralela al eje \( x \) c) es paralela al eje \( y \) d) es paralela a la recta \( 2 x-4 y-3 \)

Claro, vamos a encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (2, -5) \) para cada uno de los casos solicitados. ### 1. Ecuación de la recta que pasa por \( (2, -5) \): #### a) **Tiene pendiente -3** Utilizamos la **forma punto-pendiente** de la ecuación de una recta: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Donde \( m \) es la pendiente y \( (x_1, y_1) \) es el punto dado. Sustituyendo los valores: \[ y - (-5) = -3(x - 2) \\ y + 5 = -3x + 6 \\ y = -3x + 6 - 5 \\ \boxed{y = -3x + 1} \] #### b) **Es paralela al eje \( x \)** Una recta paralela al eje \( x \) es una **recta horizontal**, cuya ecuación es de la forma: \[ y = k \] Dado que pasa por \( (2, -5) \), sustituimos \( y = -5 \): \[ \boxed{y = -5} \] #### c) **Es paralela al eje \( y \)** Una recta paralela al eje \( y \) es una **recta vertical**, cuya ecuación es de la forma: \[ x = k \] Dado que pasa por \( (2, -5) \), sustituimos \( x = 2 \): \[ \boxed{x = 2} \] #### d) **Es paralela a la recta \( 2x - 4y - 3 = 0 \)** Primero, determinamos la pendiente de la recta dada. Reescribimos la ecuación en **forma pendiente-intersección** (\( y = mx + b \)): \[ 2x - 4y - 3 = 0 \\ -4y = -2x + 3 \\ y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} \] La pendiente \( m \) es \( \frac{1}{2} \). Como la recta buscada es paralela, tendrá la misma pendiente. Usamos la **forma punto-pendiente**: \[ y - (-5) = \frac{1}{2}(x - 2) \\ y + 5 = \frac{1}{2}x - 1 \\ y = \frac{1}{2}x - 1 - 5 \\ \boxed{y = \frac{1}{2}x - 6} \] --- **Resumen de las ecuaciones:** a) \( y = -3x + 1 \) b) \( y = -5 \) c) \( x = 2 \) d) \( y = \frac{1}{2}x - 6 \)