1. (2 puntos). Resolver la ecuación logaritmica $$ \frac{\log (x+3)}{\log (x-3)}=1+\log _{3}(3) $$

Question

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Para resolver la ecuación logarítmica:

$$
\frac{\log (x+3)}{\log (x-3)} = 1 + \log_{3}(3)
$$

Primero, simplificamos el lado derecho:

$$
\log_{3}(3) = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 + \log_{3}(3) = 2
$$

Entonces, la ecuación se convierte en:

$$
\frac{\log (x+3)}{\log (x-3)} = 2
$$

Multiplicamos ambos lados por $$\log (x-3)$$:

$$
\log (x+3) = 2 \cdot \log (x-3)
$$

Utilizando propiedades de logaritmos:

$$
\log (x+3) = \log \left( (x-3)^2 \right)
$$

Como las funciones logarítmicas son inyectivas, igualamos los argumentos:

$$
x + 3 = (x - 3)^2
$$

Desarrollamos la ecuación cuadrática:

$$
x + 3 = x^2 - 6x + 9
$$
$$
0 = x^2 - 7x + 6
$$

Resolviendo la ecuación cuadrática:

$$
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}
$$

Obtenemos dos soluciones:

$$
x = 6 \quad \text{y} \quad x = 1
$$

Verificamos las soluciones en el dominio de la ecuación original ($$x > 3$$):

- $$x = 6$$ es válida.
- $$x = 1$$ no pertenece al dominio.

**Solución:** $$x = 6$$
La solución es $$x = 6$$.

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