Точки \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( A C \) треугольника \( A B C \) на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины \( A \). Вычисли радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( A B \), если \( \cos \angle B A C=\frac{\sqrt{15}}{4} \).

Для нахождения радиуса окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \), и касающейся луча \( AB \), воспользуемся некоторыми геометрическими соотношениями. Обозначим: - расстояние \( AM = 12 \), - расстояние \( AN = 45 \), - \( R \) - радиус искомой окружности. Сначала вычислим длину отрезков \( MN \): \[ MN = AN - AM = 45 - 12 = 33. \] Теперь используем формулу для радиуса окружности, касающейся стороны \( AB \) и проходящей через две точки на стороне \( AC \). Пусть \( d \) — расстояние от точки \( A \) до прямой, проходящей через точки \( M \) и \( N \) (это будет высота из точки \( A \) к отрезку \( MN \)). Известно, что \( \angle BAC \) связана с косинусом: \[ \sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}. \] Таким образом, высота \( d \) из точки \( A \) к отрезку \( MN \) будет связана с треугольником \( ABN \) (или \( ABM \)). Высота \( d \) может быть найдена по формуле: \[ d = AM \cdot \sin \angle BAC = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3. \] Теперь используя радиус \( R \) окружности, которая проходит через точки \( M \) и \( N \) и уважаете к лучу \( AB \): \[ R = \frac{MN}{2\sin \theta}, \] где \( \theta \) — это угол, равный \( \angle MAB \). Для вычисления \( R \): \[ R = \frac{33}{2d} = \frac{33}{2 \cdot 3} = \frac{33}{6} = 5.5. \] Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( AB \), равен \( R = 5.5 \).