9. Fie $$ P: V \rightarrow V $$ un operator liniar cu proprietatea $$ P^{2}=P $$, unde $$ V $$ este un spaţiu cu produs scalar. Să se arate că $$ P $$ este autoadjunct dacă şi numai dacă $$ \operatorname{Ker}(P) $$ şi $$ \operatorname{Im}(P) $$ sunt subspatii ortogonale (caz în care $$ P $$ se numeşte proiector ortogonal). (OBSERVATIE: Un "proiector ortogonal" nu este operator ortogonal. Operatorul din exerciţiul 7 este un exemplu de proiector ortogonal.)

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a demonstra afirmația, vom analiza cele două implicații:

1. **Dacă $$ P $$ este autoadjunct, atunci $$ \operatorname{Ker}(P) $$ și $$ \operatorname{Im}(P) $$ sunt subspații ortogonale.**

2. **Dacă $$ \operatorname{Ker}(P) $$ și $$ \operatorname{Im}(P) $$ sunt subspații ortogonale, atunci $$ P $$ este autoadjunct.**

### 1. $$ P $$ autoadjunct implică $$ \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) $$

**Pasul 1:** Presupunem că $$ P $$ este autoadjunct, adică $$ \langle P(v), w \rangle = \langle v, P(w) \rangle $$ pentru orice $$ v, w \in V $$.

**Pasul 2:** Fie $$ v \in \operatorname{Ker}(P) $$ și $$ w \in \operatorname{Im}(P) $$. Trebuie să demonstrăm că $$ \langle v, w \rangle = 0 $$.

**Pasul 3:** Deoarece $$ w \in \operatorname{Im}(P) $$, există un vector $$ u \in V $$ astfel încât $$ w = P(u) $$.

**Pasul 4:** Deoarece $$ v \in \operatorname{Ker}(P) $$, $$ P(v) = 0 $$.

**Pasul 5:** Aplicăm proprietatea autoadjunctă:
$$
\langle P(v), u \rangle = \langle v, P(u) \rangle
$$
$$
\langle 0, u \rangle = \langle v, w \rangle
$$
$$
0 = \langle v, w \rangle
$$
Deci, $$ \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) $$.

### 2. $$ \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) $$ implică $$ P $$ autoadjunct

**Pasul 1:** Presupunem că $$ \operatorname{Ker}(P) $$ și $$ \operatorname{Im}(P) $$ sunt subspații ortogonale, adică $$ \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) $$.

**Pasul 2:** Trebuie să demonstrăm că $$ P $$ este autoadjunct, adică $$ \langle P(v), w \rangle = \langle v, P(w) \rangle $$ pentru orice $$ v, w \in V $$.

**Pasul 3:** Orice vector $$ v \in V $$ se poate scrie unic ca $$ v = p + q $$, unde $$ p \in \operatorname{Im}(P) $$ și $$ q \in \operatorname{Ker}(P) $$.

**Pasul 4:** Deoarece $$ P $$ este idempotent ($$ P^2 = P $$), rezultă că $$ P(v) = P(p + q) = P(p) + P(q) = p + 0 = p $$.

**Pasul 5:** Calculăm produsul scalar $$ \langle P(v), w \rangle $$:
$$
\langle p, w \rangle
$$
Deoarece $$ p \in \operatorname{Im}(P) $$ și $$ w = p' + q' $$ cu $$ p' \in \operatorname{Im}(P) $$ și $$ q' \in \operatorname{Ker}(P) $$, rezultă că:
$$
\langle p, w \rangle = \langle p, p' \rangle + \langle p, q' \rangle = \langle p, p' \rangle + 0 = \langle p, p' \rangle
$$

**Pasul 6:** Calculăm produsul scalar $$ \langle v, P(w) \rangle $$:
$$
\langle p + q, p' \rangle = \langle p, p' \rangle + \langle q, p' \rangle = \langle p, p' \rangle + 0 = \langle p, p' \rangle
$$

**Pasul 7:** Observăm că:
$$
\langle P(v), w \rangle = \langle v, P(w) \rangle
$$
Astfel, $$ P $$ este autoadjunct.

### Concluzie

Am demonstrat atât faptul că un operator liniar autoadjunct idempotent este un proiector ortogonal, cât și inversul. Prin urmare, $$ P $$ este autoadjunct dacă și numai dacă $$ \operatorname{Ker}(P) $$ și $$ \operatorname{Im}(P) $$ sunt subspații ortogonale.
$$ P $$ este autoadjunct dacă și numai dacă $$ \operatorname{Ker}(P) $$ și $$ \operatorname{Im}(P) $$ sunt subspații ortogonale.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. autoadjunct implică

2. implică autoadjunct

Concluzie

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Other Questions