Pregunta
upstudy study bank question image url

9. Fie \( P: V \rightarrow V \) un operator liniar cu proprietatea \( P^{2}=P \), unde \( V \) este un spaţiu cu produs scalar. Să se arate că \( P \) este autoadjunct dacă şi numai dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) şi \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspatii ortogonale (caz în care \( P \) se numeşte proiector ortogonal). (OBSERVATIE: Un "proiector ortogonal" nu este operator ortogonal. Operatorul din exerciţiul 7 este un exemplu de proiector ortogonal.)

Ask by Reyes Boone. in Romania
Jan 22,2025

Solución de tutoría real

Respuesta verificada por el tutor

Responder

\( P \) este autoadjunct dacă și numai dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale.

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy

The Deep Dive

Un operator liniar \( P: V \rightarrow V \) cu proprietatea \( P^{2} = P \) este cunoscut sub numele de proiector. Dacă vrem să demonstrăm că \( P \) este autoadjunct dacă și doar dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale, putem începe prin a observa că pentru orice vector \( v \in V \), se poate scrie \( v = p + q \), unde \( p \in \operatorname{Im}(P) \) și \( q \in \operatorname{Ker}(P) \) (adică \( P(q) = 0 \)). Dacă \( P \) este autoadjunct, atunci pentru orice \( v \in \operatorname{Ker}(P) \) și \( u \in \operatorname{Im}(P) \), avem că \( \langle P(u), v \rangle = \langle u, P(v) \rangle = \langle u, 0 \rangle = 0 \), deci \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt ortogonale. Invers, dacă cele două subspații sunt ortogonale și alegem un vector în fiecare, concluzionăm că \( \langle P(u), v \rangle = 0 \), iar prin formularea acestei relații pentru diverse combinații, putem arăta că \( P \) este autoadjunct. Un exemplu clasic de proiector ortogonal este proiecția pe o dreaptă în plan, unde toate punctele pot fi văzute ca vectori în spațiul euclidian. Dacă dorim să proiectăm un vector \( v \) asupra unei linii definite printr-un vector unitar \( u \), folosim formula \( P(v) = \langle v, u \rangle u \). Acest operator înglobează proprietățile dorite, demonstrând ortogonalitatea între imagine și kernel, făcându-l un exemplu perfect în analizarea proiecțiilor în geometria analitică.

preguntas relacionadas

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad