9. Fie \( P: V \rightarrow V \) un operator liniar cu proprietatea \( P^{2}=P \), unde \( V \) este un spaţiu cu produs scalar. Să se arate că \( P \) este autoadjunct dacă şi numai dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) şi \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspatii ortogonale (caz în care \( P \) se numeşte proiector ortogonal). (OBSERVATIE: Un "proiector ortogonal" nu este operator ortogonal. Operatorul din exerciţiul 7 este un exemplu de proiector ortogonal.)
Solución de tutoría real
Responder
Solución
¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!
Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.
Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy
The Deep Dive
Un operator liniar \( P: V \rightarrow V \) cu proprietatea \( P^{2} = P \) este cunoscut sub numele de proiector. Dacă vrem să demonstrăm că \( P \) este autoadjunct dacă și doar dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale, putem începe prin a observa că pentru orice vector \( v \in V \), se poate scrie \( v = p + q \), unde \( p \in \operatorname{Im}(P) \) și \( q \in \operatorname{Ker}(P) \) (adică \( P(q) = 0 \)). Dacă \( P \) este autoadjunct, atunci pentru orice \( v \in \operatorname{Ker}(P) \) și \( u \in \operatorname{Im}(P) \), avem că \( \langle P(u), v \rangle = \langle u, P(v) \rangle = \langle u, 0 \rangle = 0 \), deci \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt ortogonale. Invers, dacă cele două subspații sunt ortogonale și alegem un vector în fiecare, concluzionăm că \( \langle P(u), v \rangle = 0 \), iar prin formularea acestei relații pentru diverse combinații, putem arăta că \( P \) este autoadjunct. Un exemplu clasic de proiector ortogonal este proiecția pe o dreaptă în plan, unde toate punctele pot fi văzute ca vectori în spațiul euclidian. Dacă dorim să proiectăm un vector \( v \) asupra unei linii definite printr-un vector unitar \( u \), folosim formula \( P(v) = \langle v, u \rangle u \). Acest operator înglobează proprietățile dorite, demonstrând ortogonalitatea între imagine și kernel, făcându-l un exemplu perfect în analizarea proiecțiilor în geometria analitică.