$$ (x+y) y^{\prime}=1 $$. ĐS: $$ y=\ln (x+y+1)+C $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Để giải phương trình vi phân $$ (x+y) y' = 1 $$, ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:

$$
y' = \frac{1}{x+y}
$$

Bây giờ, ta sẽ tách biến:

$$
dy = \frac{1}{x+y} dx
$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ tích phân cả hai vế. Tuy nhiên, để tích phân, ta cần một cách để xử lý $$ x+y $$. Ta có thể thay $$ y $$ bằng $$ v $$ và $$ x $$ bằng $$ u $$, với $$ v = y $$ và $$ u = x + y $$. Khi đó, ta có:

$$
du = dx + dy \quad \Rightarrow \quad dy = du - dx
$$

Thay vào phương trình, ta có:

$$
du - dx = \frac{1}{u} dx
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
du = \left(1 + \frac{1}{u}\right) dx
$$

Tách biến:

$$
\frac{du}{1 + \frac{1}{u}} = dx
$$

Tính tích phân bên trái:

$$
\int \frac{u}{u+1} du = \int dx
$$

Tích phân bên trái có thể được thực hiện bằng cách phân tích thành phần:

$$
\int \left(1 - \frac{1}{u+1}\right) du = x + C
$$

Kết quả là:

$$
u - \ln|u+1| = x + C
$$

Thay lại $$ u = x + y $$:

$$
(x+y) - \ln|x+y+1| = x + C
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
y - \ln|x+y+1| = C
$$

Cuối cùng, ta có thể viết lại phương trình:

$$
y = \ln(x+y+1) + C
$$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

$$
y = \ln(x+y+1) + C
$$

Đúng như đề bài đã cho.
Nghiệm tổng quát của phương trình $$ (x+y) y' = 1 $$ là $$ y = \ln(x+y+1) + C $$.

\( (x+y) y^{\prime}=1 \). ĐS: \( y=\ln (x+y+1)+C \)

Solución de tutoría real

Responder

Solución

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions