Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ -6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \( -x_{1}-5 x_{2}+x_{3}=-10 \)

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( g \) mit der Ebene \( E \) zu finden, setzen wir zuerst die Gleichung der Geraden in die Gleichung der Ebene ein. Die Geradengleichung lautet: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ -6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} \] Das ergibt die Koordinaten: \[ x_1 = -3 - t, \quad x_2 = 1 + t, \quad x_3 = -6 + 3t \] Nun setzen wir diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein: \[ -(-3 - t) - 5(1 + t) + (-6 + 3t) = -10 \] Das vereinfacht sich zu: \[ (3 + t) - 5 - 5t - 6 + 3t = -10 \] Somit haben wir: \[ 3 + t - 5 - 5t - 6 + 3t = -10 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -4 - t = -10 \] Nun lösen wir nach \( t \) auf: \[ -t = -10 + 4 \implies -t = -6 \implies t = 6 \] Nun setzen wir \( t = 6 \) zurück in die Geradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu finden: \[ x_1 = -3 - 6 = -9, \quad x_2 = 1 + 6 = 7, \quad x_3 = -6 + 3 \cdot 6 = 12 \] Der Durchstoßpunkt hat also die Koordinaten: \[ \vec{P} = \begin{pmatrix}-9 \\ 7 \\ 12\end{pmatrix} \] Damit ist der Durchstoßpunkt der Geraden \( g \) mit der Ebene \( E \) der Punkt \( \begin{pmatrix}-9 \\ 7 \\ 12\end{pmatrix} \).