Esercizio 1. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $$ \mathbb{R}^{4} $$ : $$ U=\mathcal{L}((k, 0,1,-1)) \quad W:\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-2 x_{4}=0 \ x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\end{array}\right. $$ (a) Determinare la dimensione e una base di $$ W $$ e $$ W^{1} $$. (b) Determinare la dimensione e una base di $$ U \cap W $$ al variare di $$ k $$. (c) Trovare equazioni cartesiane per $$ U^{1} $$.

Question

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**Parte (a):**

Determinare la dimensione e una base di $$ W $$ e $$ W^{1} $$.

1. **Sottospazio $$ W $$:**

$$ W $$ è definito dalle equazioni:
   $$
   \begin{cases}
   x_{1} + x_{2} - 2x_{4} = 0 \
   x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0
   \end{cases}
   $$

Possiamo riscrivere il sistema in termini di variabili dipendenti e libere. Supponiamo che $$ x_{2} $$ e $$ x_{4} $$ siano variabili libere.

Dalle equazioni otteniamo:
   $$
   \begin{cases}
   x_{1} = -x_{2} + 2x_{4} \
   x_{3} = x_{2} - x_{4}
   \end{cases}
   $$

Quindi, ogni vettore in $$ W $$ può essere espresso come:
   $$
   \mathbf{x} = (-s + 2t, \ s, \ s - t, \ t) = s \cdot (-1, \ 1, \ 1, \ 0) + t \cdot (2, \ 0, \ -1, \ 1)
   $$
   dove $$ s, t \in \mathbb{R} $$.

**Dimensione di $$ W $$:** Poiché ci sono due parametri liberi, $$ \dim(W) = 2 $$.

**Base di $$ W $$:**
   $$
   \left\{\, (-1, \ 1, \ 1, \ 0),\ \ (2, \ 0, \ -1, \ 1) \,\right\}
   $$

2. **Annichilatore $$ W^{1} $$:**

L'annichilatore $$ W^{1} $$ è l'insieme dei funzionali lineari che annullano ogni vettore in $$ W $$. Dato che $$ W $$ è definito dalle due equazioni lineari, $$ W^{1} $$ è generato dai coefficienti di queste equazioni.

**Dimensione di $$ W^{1} $$:** Poiché $$ W $$ ha dimensione 2 in $$ \mathbb{R}^{4} $$, $$ W^{1} $$ avrà dimensione $$ 4 - 2 = 2 $$.

**Base di $$ W^{1} $$:**
   $$
   \left\{\, (1, \ 1, \ 0, \ -2),\ \ (0, \ 1, \ -1, \ -1) \,\right\}
   $$

Riassumendo:

- **$$\dim(W) = 2$$ con base $$\{\, (-1, 1, 1, 0),\ (2, 0, -1, 1) \,\}$$**
- **$$\dim(W^{1}) = 2$$ con base $$\{\, (1, 1, 0, -2),\ (0, 1, -1, -1) \,\}$$**
**Parte (a):** - **Dimensione e base di $$ W $$:** - Dimensione: 2 - Base: $$\{ (-1, 1, 1, 0),\ (2, 0, -1, 1) \}$$ - **Dimensione e base di $$ W^{1} $$:** - Dimensione: 2 - Base: $$\{ (1, 1, 0, -2),\ (0, 1, -1, -1) \}$$ **Parte (b):** - **Dimensione e base di $$ U \cap W $$:** - Dimensione: 1 - Base: $$\{ (1, 0, 1, -1) \}$$ (per $$ k = 1 $$) **Parte (c):** - **Equazioni cartesiane per $$ U^{1} $$:** $$ \begin{cases} x_{1} + x_{2} - 2x_{4} = 0 \ x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0 \end{cases} $$

Esercizio 1. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di :

(a) Determinare la dimensione e una base di e .
(b) Determinare la dimensione e una base di al variare di .
© Trovare equazioni cartesiane per .

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