23 Determina per quali valori di la retta e la para-
bola rispettivamente di equazioni
hanno dei punti in comune.

Per trovare i valori di m per i quali la retta

y = m·x − m

e la parabola

y = 2x² + x − 5

hanno punti in comune, bisogna cercare le soluzioni reali dell’equazione ottenuta uguagliando le due espressioni di y.

2x² + x − 5 = m·x − m

2x² + x − 5 − m·x + m = 0

2x² + (1 − m)x + (m − 5) = 0

Questa è un’equazione quadratica in x. Affinché la retta e la parabola abbiano almeno un punto in comune, l’equazione deve avere almeno una soluzione reale, cioè il discriminante (Δ) deve essere maggiore o uguale a zero.

ax² + bx + c = 0  con a = 2, b = 1 − m, c = m − 5.

Δ = b² − 4ac
   = (1 − m)² − 4·2·(m − 5)

Sviluppiamo i termini:

(1 − m)² = 1 − 2m + m²

4·2·(m − 5) = 8(m − 5) = 8m − 40

Quindi,

Δ = (1 − 2m + m²) − (8m − 40)
   = m² − 2m + 1 − 8m + 40
   = m² − 10m + 41

m² − 10m + 41 ≥ 0

Osserviamo che si tratta di un’espressione quadratica in m. Per capire per quali m è non negativa, possiamo completare il quadrato:

m² − 10m + 41 = (m² − 10m + 25) + 16 = (m − 5)² + 16

Poiché (m − 5)² è sempre maggiore o uguale a 0, abbiamo:

(m − 5)² + 16 ≥ 16 > 0  per ogni m ∈ ℝ

Quindi, per ogni valore reale di m, il discriminante risulta sempre positivo.

Poiché Δ > 0 per ogni m ∈ ℝ, la quadratica in x ha sempre due soluzioni distinte reali. Ciò significa che la retta e la parabola si intersecano in due punti reali distinti per ogni valore di m.

Risposta: I punti di intersezione esistono per ogni valore reale di m.