2. Aplique propiedades del valor absoluto $$ y $$ resuelve a. $$ |4 x+3|=\frac{1}{2} $$ b. $$ |3 x-7| \leq 8 $$ c. $$ \left|\frac{5}{4} x+\frac{1}{4}\right|\frac{8}{4} $$ d. $$ |-3 x-5|=6 $$ e. $$ |6 x-6|

Question

2. Aplique propiedades del valor absoluto $$ y $$ resuelve a. $$ |4 x+3|=\frac{1}{2} $$ b. $$ |3 x-7| \leq 8 $$ c. $$ \left|\frac{5}{4} x+\frac{1}{4}\right|>\frac{8}{4} $$ d. $$ |-3 x-5|=6 $$ e. $$ |6 x-6|<12 $$ f. $$ |x+\sqrt{4}| \geq 2 $$

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**a. Resolver $$ |4 x+3|=\frac{1}{2} $$** Recordamos que si $$ |A| = B $$ con $$ B\geq0 $$, entonces $$ A = B \quad \text{o} \quad A = -B. $$ 1. Primera ecuación: $$ 4x+3=\frac{1}{2} $$ Restamos 3 a ambos lados: $$ 4x=\frac{1}{2}-3=\frac{1-6}{2}=\frac{-5}{2} $$ Dividimos entre 4: $$ x=\frac{-5}{8}. $$ 2. Segunda ecuación: $$ 4x+3=-\frac{1}{2} $$ Restamos 3: $$ 4x=-\frac{1}{2}-3=-\frac{1+6}{2}=-\frac{7}{2} $$ Dividimos entre 4: $$ x=-\frac{7}{8}. $$ Por lo tanto, la solución es: $$ x = -\frac{5}{8} \quad \text{o} \quad x = -\frac{7}{8}. $$ --- **b. Resolver $$ |3 x-7| \leq 8 $$** Para la desigualdad $$ |A| \leq B $$ se cumple: $$ -B\leq A \leq B. $$ Aplicamos a $$ 3x-7 $$: $$ -8 \leq 3x-7 \leq 8. $$ Sumamos 7 a todos los miembros: $$ -8+7 \leq 3x \leq 8+7, $$ $$ -1 \leq 3x \leq 15. $$ Dividimos entre 3: $$ -\frac{1}{3} \leq x \leq 5. $$ --- **c. Resolver $$ \left|\frac{5}{4} x+\frac{1}{4}\right|>\frac{8}{4} $$** Primero simplificamos $$ \frac{8}{4}=2 $$, por lo que tenemos: $$ \left|\frac{5}{4} x+\frac{1}{4}\right|>2. $$ Para el valor absoluto mayor que un número, tenemos dos casos: $$ \frac{5}{4} x+\frac{1}{4}>2 \quad \text{o} \quad \frac{5}{4} x+\frac{1}{4}<-2. $$ 1. Primer caso: $$ \frac{5}{4} x+\frac{1}{4}>2. $$ Multiplicamos por 4: $$ 5x+1>8. $$ Restamos 1: $$ 5x>7. $$ Dividimos entre 5: $$ x>\frac{7}{5}. $$ 2. Segundo caso: $$ \frac{5}{4} x+\frac{1}{4}<-2. $$ Multiplicamos por 4: $$ 5x+1<-8. $$ Restamos 1: $$ 5x<-9. $$ Dividimos entre 5: $$ x<-\frac{9}{5}. $$ La solución es: $$ x<-\frac{9}{5} \quad \text{o} \quad x>\frac{7}{5}. $$ --- **d. Resolver $$ |-3 x-5|=6 $$** Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$ -3x-5=6 \quad \text{o} \quad -3x-5=-6. $$ 1. Para $$ -3x-5=6 $$: Sumamos 5: $$ -3x=11. $$ Dividimos entre -3: $$ x=-\frac{11}{3}. $$ 2. Para $$ -3x-5=-6 $$: Sumamos 5: $$ -3x=-1. $$ Dividimos entre -3: $$ x=\frac{1}{3}. $$ La solución es: $$ x=-\frac{11}{3} \quad \text{o} \quad x=\frac{1}{3}. $$ --- **e. Resolver $$ |6 x-6|<12 $$** Para la desigualdad $$ |A| < B$$, se tiene: $$ -B < A < B. $$ Aplicamos a $$ 6x-6 $$: $$ -12 < 6x-6 < 12. $$ Sumamos 6: $$ -12+6 < 6x < 12+6, $$ $$ -6 < 6x < 18. $$ Dividimos entre 6: $$ -1 < x < 3. $$ --- **f. Resolver $$ |x+\sqrt{4}| \geq 2 $$** Notamos que $$ \sqrt{4}=2 $$, de modo que la ecuación se convierte en: $$ |x+2| \geq 2. $$ Para $$ |A| \geq B $$ (donde $$ B>0 $$), el caso se divide en: $$ A \geq B \quad \text{o} \quad A \leq -B. $$ Aplicamos a $$ x+2 $$: 1. Caso 1: $$ x+2 \geq 2. $$ Restamos 2: $$ x\geq 0. $$ 2. Caso 2: $$ x+2 \leq -2. $$ Restamos 2: $$ x\leq -4. $$ La solución es: $$ x\leq -4 \quad \text{o} \quad x\geq 0. $$ **a. $$ |4x + 3| = \frac{1}{2} $$** $$ x = -\frac{5}{8} \quad \text{o} \quad x = -\frac{7}{8} $$ **b. $$ |3x - 7| \leq 8 $$** $$ -\frac{1}{3} \leq x \leq 5 $$ **c. $$ \left|\frac{5}{4}x + \frac{1}{4}\right| > 2 $$** $$ x < -\frac{9}{5} \quad \text{o} \quad x > \frac{7}{5} $$ **d. $$ |-3x - 5| = 6 $$** $$ x = -\frac{11}{3} \quad \text{o} \quad x = \frac{1}{3} $$ **e. $$ |6x - 6| < 12 $$** $$ -1 < x < 3 $$ **f. $$ |x + \sqrt{4}| \geq 2 $$** $$ x \leq -4 \quad \text{o} \quad x \geq 0 $$

Aplique propiedades del valor absoluto
resuelve
a.
b.
c.
d.
e.
f.

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