3. Resuelve cada situacion a. En un parque, se quiere construir una pista de patinaje de forma rectangular. El área de la pista está determinada por la expresión cuadrática $$ \mathrm{A}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+6 $$, donde x es el largo de la pista en metros. Para que la pista tenga suficiente espacio para los patinadores, el área debe ser menor o igual a 0 metros cuadrados en ciertas condiciones. Qué valores puede tomar el largo de la pista. Comprueba su respuesta.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la situación, comenzaremos analizando la expresión cuadrática dada para el área de la pista de patinaje:

$$
A(x) = x^{2} - 5x + 6
$$

Queremos encontrar los valores de $$ x $$ para los cuales el área $$ A(x) $$ es menor o igual a 0. Esto se puede expresar como:

$$
x^{2} - 5x + 6 \leq 0
$$

### Paso 1: Encontrar las raíces de la ecuación cuadrática

Primero, resolveremos la ecuación cuadrática $$ x^{2} - 5x + 6 = 0 $$ para encontrar los puntos donde el área es igual a cero. Utilizaremos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
$$

donde $$ a = 1 $$, $$ b = -5 $$, y $$ c = 6 $$.

### Paso 2: Calcular las raíces

Sustituyamos los valores en la fórmula:

$$
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}
$$

Ahora, calcularemos el discriminante y las raíces.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 6$$
- step1: Multiply the terms:
  $$\left(-5\right)^{2}-24$$
- step2: Simplify:
  $$5^{2}-24$$
- step3: Evaluate the power:
  $$25-24$$
- step4: Subtract the numbers:
  $$1$$
Calculate or simplify the expression $$ (-(-5) + \sqrt(1))/(2*1) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(-\left(-5\right)+\sqrt{1}\right)}{\left(2\times 1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{1}}{2\times 1}$$
- step2: Remove the parentheses:
  $$\frac{5+\sqrt{1}}{2\times 1}$$
- step3: Simplify the root:
  $$\frac{5+1}{2\times 1}$$
- step4: Multiply:
  $$\frac{5+1}{2}$$
- step5: Add the numbers:
  $$\frac{6}{2}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{3}{1}$$
- step7: Calculate:
  $$3$$
Calculate or simplify the expression $$ (-(-5) - \sqrt(1))/(2*1) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(-\left(-5\right)-\sqrt{1}\right)}{\left(2\times 1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{1}}{2\times 1}$$
- step2: Remove the parentheses:
  $$\frac{5-\sqrt{1}}{2\times 1}$$
- step3: Simplify the root:
  $$\frac{5-1}{2\times 1}$$
- step4: Multiply:
  $$\frac{5-1}{2}$$
- step5: Subtract the numbers:
  $$\frac{4}{2}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$\frac{2}{1}$$
- step7: Calculate:
  $$2$$
El discriminante es $$ 1 $$, lo que indica que hay dos raíces reales. Ahora, calculamos las raíces:

1. $$ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 $$
2. $$ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 $$

### Paso 3: Analizar el signo de la parábola

La expresión cuadrática $$ A(x) = x^{2} - 5x + 6 $$ es una parábola que abre hacia arriba (ya que el coeficiente de $$ x^{2} $$ es positivo). Para determinar dónde es menor o igual a cero, evaluamos el intervalo entre las raíces:

- La parábola es positiva fuera del intervalo $$ [2, 3] $$ y negativa dentro de este intervalo.

### Paso 4: Conclusión

Por lo tanto, el área de la pista de patinaje será menor o igual a cero en el intervalo:

$$
2 \leq x \leq 3
$$

### Paso 5: Comprobación

Para comprobar, evaluaremos $$ A(2) $$ y $$ A(3) $$:

1. $$ A(2) = 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 0 $$
2. $$ A(3) = 3^{2} - 5 \cdot 3 + 6 = 0 $$

Ambos valores son cero, lo que confirma que el área es igual a cero en esos puntos.

Por lo tanto, los valores que puede tomar el largo de la pista son $$ x $$ en el intervalo $$ [2, 3] $$ metros.
Los valores que puede tomar el largo de la pista son entre 2 y 3 metros.

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