8. $$ h(x)=\ln \left(x+e^{3 x}\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la derivada de la función $$ h(x) = \ln\left(x + e^{3x}\right) $$, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Aplicar la regla de la derivada del logaritmo natural
La derivada de $$ \ln(u) $$ respecto a $$ x $$ es $$ \frac{u'}{u} $$, donde $$ u $$ es una función de $$ x $$.

Aquí, $$ u = x + e^{3x} $$.

### Paso 2: Encontrar la derivada de $$ u $$
Calculamos $$ u' $$:

$$
u = x + e^{3x}
$$
$$
u' = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(e^{3x}) = 1 + 3e^{3x}
$$

### Paso 3: Aplicar la regla de la derivada
Ahora, aplicamos la regla mencionada en el Paso 1:

$$
h'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{1 + 3e^{3x}}{x + e^{3x}}
$$

### Resultado Final
Por lo tanto, la derivada de $$ h(x) $$ es:

$$
h'(x) = \frac{1 + 3e^{3x}}{x + e^{3x}}
$$
La derivada de $$ h(x) = \ln\left(x + e^{3x}\right) $$ es $$ h'(x) = \frac{1 + 3e^{3x}}{x + e^{3x}} $$.

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