8. \( h(x)=\ln \left(x+e^{3 x}\right) \)

Para encontrar la derivada de la función \( h(x) = \ln\left(x + e^{3x}\right) \), seguimos los siguientes pasos: ### Paso 1: Aplicar la regla de la derivada del logaritmo natural La derivada de \( \ln(u) \) respecto a \( x \) es \( \frac{u'}{u} \), donde \( u \) es una función de \( x \). Aquí, \( u = x + e^{3x} \). ### Paso 2: Encontrar la derivada de \( u \) Calculamos \( u' \): \[ u = x + e^{3x} \] \[ u' = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(e^{3x}) = 1 + 3e^{3x} \] ### Paso 3: Aplicar la regla de la derivada Ahora, aplicamos la regla mencionada en el Paso 1: \[ h'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{1 + 3e^{3x}}{x + e^{3x}} \] ### Resultado Final Por lo tanto, la derivada de \( h(x) \) es: \[ h'(x) = \frac{1 + 3e^{3x}}{x + e^{3x}} \]