Deux automobilistes empruntent indépendamment l'un de l'autre une route forestière sur laquelle la probabi- lité de rencontrer un animal sauvage est de 0,2 . 1. Quelle est la probabilité qu'au moins un des deux automobilistes rencontre un animal sauvage? 2. Écrire un algorithme permettant de déterminer le nombre minimal de trajets qu'il faut parcourir pour que la probabilité de rencontrer un animal sauvage au moins une fois soit supérieure à 0,9 .

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**1. Probabilité qu'au moins un des deux automobilistes rencontre un animal sauvage** La probabilité qu'au moins un des deux automobilistes rencontre un animal sauvage peut être calculée en utilisant la formule de la probabilité de l'union de deux événements indépendants. Soit : - $$ P(A) = 0,2 $$ la probabilité que le premier automobiliste rencontre un animal sauvage. - $$ P(B) = 0,2 $$ la probabilité que le second automobiliste rencontre un animal sauvage. La probabilité que **aucun** des deux ne rencontre un animal sauvage est : $$ P(\text{aucun}) = (1 - P(A)) \times (1 - P(B)) = (1 - 0,2) \times (1 - 0,2) = 0,8 \times 0,8 = 0,64 $$ Donc, la probabilité qu'**au moins un** des deux rencontre un animal sauvage est : $$ P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun}) = 1 - 0,64 = 0,36 $$ **2. Algorithme pour déterminer le nombre minimal de trajets** Nous souhaitons déterminer le nombre minimal de trajets $$ n $$ tel que la probabilité de rencontrer au moins un animal sauvage soit supérieure à 0,9. La probabilité de ne rencontrer aucun animal sauvage sur $$ n $$ trajets est $$ (1 - p)^n $$, où $$ p = 0,2 $$. Ainsi, la probabilité de rencontrer au moins un animal sauvage est : $$ P(\text{au moins un}) = 1 - (1 - p)^n $$ Nous cherchons le plus petit $$ n $$ tel que : $$ 1 - (1 - 0,2)^n > 0,9 $$ $$ (0,8)^n < 0,1 $$ **Algorithme en pseudo-code :** ```pseudo Début p ← 0,2 objectif ← 0,9 n ← 0 probabilité ← 0 Tant que probabilité ≤ objectif Faire n ← n + 1 probabilité ← 1 - (1 - p)^n Fin Tant que Afficher "Le nombre minimal de trajets est " + n Fin ``` **Explication de l'algorithme :** 1. **Initialisation :** - $$ p $$ est la probabilité de rencontrer un animal sauvage sur un trajet. - `objectif` est la probabilité cible que nous souhaitons atteindre (0,9). - $$ n $$ représente le nombre de trajets parcourus, initialisé à 0. - `probabilité` représente la probabilité actuelle d'avoir rencontré au moins un animal, initialisée à 0. 2. **Boucle :** - Tant que la probabilité actuelle est inférieure ou égale à l'objectif : - Incrémenter $$ n $$ de 1. - Calculer la nouvelle probabilité avec la formule $$ 1 - (1 - p)^n $$. 3. **Résultat :** - Lorsque la boucle se termine, $$ n $$ est le nombre minimal de trajets requis pour que la probabilité de rencontrer au moins un animal sauvage dépasse 0,9. - Afficher le résultat. **Calcul rapide :** Pour vérifier, calculons $$ n $$ tel que $$ (0,8)^n < 0,1 $$. Prenons les logarithmes des deux côtés : $$ \ln(0,8)^n < \ln(0,1) $$ $$ n \times \ln(0,8) < \ln(0,1) $$ $$ n > \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,8)} $$ $$ n > \frac{-2,302585}{-0,223144} $$ $$ n > 10,32 $$ Ainsi, $$ n = 11 $$ trajets est le nombre minimal requis. **1. Probabilité qu'au moins un des deux automobilistes rencontre un animal sauvage :** La probabilité est de 0,36. **2. Algorithme pour déterminer le nombre minimal de trajets :** ```pseudo Début p ← 0,2 objectif ← 0,9 n ← 0 probabilité ← 0 Tant que probabilité ≤ objectif Faire n ← n + 1 probabilité ← 1 - (1 - p)^n Fin Tant que Afficher "Le nombre minimal de trajets est " + n Fin ``` Avec ce programme, vous obtiendrez que 11 trajets sont nécessaires pour que la probabilité de rencontrer au moins un animal sauvage dépasse 0,9.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Probability Questions