Hallar la derivada de las funciones $$ y=\frac{\operatorname{arcsen}\left(\ln x^{3}\right) \operatorname{sen}^{3}(x)}{\operatorname{sen} x} $$

Question

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Para hallar la derivada de la función

$$
y = \frac{\arcsen\left(\ln x^{3}\right) \cdot \sen^{3}(x)}{\sen x},
$$

primero simplificamos la expresión:

$$
y = \arcsen\left(\ln x^{3}\right) \cdot \sen^{2}(x).
$$

Ahora, aplicamos la regla del producto para derivar $$ y $$:

$$
y' = \frac{d}{dx}\left[\arcsen\left(\ln x^{3}\right)\right] \cdot \sen^{2}(x) + \arcsen\left(\ln x^{3}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left[\sen^{2}(x)\right].
$$

Calculamos cada derivada por separado:

1. **Derivada de $$\arcsen\left(\ln x^{3}\right)$$:**

$$
\frac{d}{dx}\left[\arcsen\left(\ln x^{3}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\ln x^{3}\right)^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\ln x^{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 (\ln x)^{2}}} \cdot \frac{3}{x} = \frac{3}{x \sqrt{1 - 9 (\ln x)^{2}}}.
$$

2. **Derivada de $$\sen^{2}(x)$$:**

$$
\frac{d}{dx}\left[\sen^{2}(x)\right] = 2 \sen(x) \cos(x).
$$

Sustituyendo estas expresiones en la derivada de $$ y $$:

$$
y' = \frac{3 \sen^{2}(x)}{x \sqrt{1 - 9 (\ln x)^{2}}} + \arcsen\left(\ln x^{3}\right) \cdot 2 \sen(x) \cos(x).
$$

Finalmente, la derivada de la función $$ y $$ es:

$$
y' = \frac{3\, \sen^{2}(x)}{x\, \sqrt{1 - \left(\ln x^{3}\right)^{2}}} + 2\, \arcsen\left(\ln x^{3}\right) \sen(x) \cos(x).
$$
La derivada de la función $$ y = \frac{\arcsen\left(\ln x^{3}\right) \cdot \sen^{3}(x)}{\sen x} $$ es: $$ y' = \frac{3\, \sen^{2}(x)}{x\, \sqrt{1 - \left(\ln x^{3}\right)^{2}}} + 2\, \arcsen\left(\ln x^{3}\right) \sen(x) \cos(x). $$

Hallar la derivada
de las funciones

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