Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado 4) \( f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} \) en \( [3,5] \)

Para hallar el valor promedio de la función \( f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \) en el intervalo \([3, 5]\), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Fórmula del Valor Promedio El valor promedio de una función \( f(x) \) en el intervalo \([a, b]\) se calcula mediante: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] ### 2. Sustitución e Integración Aplicamos la fórmula a la función dada: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{5 - 3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx \] Simplificamos la integral: \[ \int \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = 20 \int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx \] Hacemos la sustitución \( u = \sqrt{x^{2} - 9} \), lo que lleva a: \[ \int \frac{u}{x} \cdot \frac{u \, du}{x} = \int \frac{u^2}{x^2} \, du \] Dado que \( x^2 = u^2 + 9 \), la integral se convierte en: \[ 20 \int \frac{u^2}{u^2 + 9} \, du = 20 \left( \int 1 \, du - 9 \int \frac{1}{u^2 + 9} \, du \right) \] Resolviendo las integrales: \[ 20 \left( u - 3 \tan^{-1}\left(\frac{u}{3}\right) \right) \] ### 3. Evaluación de la Integral Definida Aplicamos los límites de integración \( u = 0 \) (cuando \( x = 3 \)) y \( u = 4 \) (cuando \( x = 5 \)): \[ 20 \left[ 4 - 3 \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \right] - 20 \left[ 0 - 3 \tan^{-1}(0) \right] = 80 - 60 \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \] ### 4. Cálculo Numérico Calculamos \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\) en radianes: \[ \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9273 \text{ radianes} \] Entonces: \[ 80 - 60 \times 0.9273 \approx 80 - 55.638 \approx 24.362 \] Finalmente, el valor promedio es: \[ \frac{24.362}{2} \approx 12.181 \] ### **Respuesta Final:** El valor promedio de la función en el intervalo \([3, 5]\) es aproximadamente **12.18**.