Задание 2. Найдите интервалы возрастания и убывани функции $$ \begin{array}{ll} ext { ) } y=-x^{3}+3 x^{2}+9 x+2 & ext { б) } y=1-\frac{4}{4 x-1}\end{array} $$

Question

Задание 2. Найдите интервалы возрастания и убывани функции $$ \begin{array}{ll}	ext { ) } y=-x^{3}+3 x^{2}+9 x+2 & 	ext { б) } y=1-\frac{4}{4 x-1}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**Задание 2. Найдите интервалы возрастания и убывания функции** **а) $$ y = -x^{3} + 3x^{2} + 9x + 2 $$** 1. **Найдем первую производную функции:** $$ y' = \frac{dy}{dx} = -3x^{2} + 6x + 9 $$ 2. **Найдем критические точки, при которых $$ y' = 0 $$:** $$ -3x^{2} + 6x + 9 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2x - 3 = 0 $$ Решая квадратное уравнение: $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 3 \text{ и } x = -1 $$ 3. **Определим знаки первой производной на промежутках:** - Для $$ x < -1 $$: Возьмем, например, $$ x = -2 $$ $$ y' = -3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -12 -12 + 9 = -15 < 0 $$ - Для $$ -1 < x < 3 $$: Возьмем, например, $$ x = 0 $$ $$ y' = 0 + 0 + 9 = 9 > 0 $$ - Для $$ x > 3 $$: Возьмем, например, $$ x = 4 $$ $$ y' = -3(16) + 24 + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 < 0 $$ 4. **Вывод:** - Функция возрастает на промежутке $$ (-1; 3) $$. - Функция убывает на промежутках $$ (-\infty; -1) $$ и $$ (3; +\infty) $$. **б) $$ y = 1 - \frac{4}{4x - 1} $$** 1. **Найдем первую производную функции:** $$ y' = \frac{d}{dx}\left(1\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{4x - 1}\right) = 0 - \left(-\frac{16}{(4x - 1)^2}\right) = \frac{16}{(4x - 1)^2} $$ 2. **Анализ знака первой производной:** $$ \frac{16}{(4x - 1)^2} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \neq \frac{1}{4} $$ Поскольку знаменатель всегда положителен, производная положительна на всей области определения функции, за исключением точки $$ x = \frac{1}{4} $$, где функция не определена. 3. **Вывод:** - Функция возрастает на промежутках $$ (-\infty; \frac{1}{4}) $$ и $$ (\frac{1}{4}; +\infty) $$. - Функция **не имеет** интервалов убывания. **Задание 2. Найдите интервалы возрастания и убывания функции** **а) $$ y = -x^{3} + 3x^{2} + 9x + 2 $$** - **Возрастает на:** $$ (-1; 3) $$ - **Убывает на:** $$ (-\infty; -1) $$ и $$ (3; +\infty) $$ **б) $$ y = 1 - \frac{4}{4x - 1} $$** - **Возрастает на:** $$ (-\infty; \frac{1}{4}) $$ и $$ (\frac{1}{4}; +\infty) $$ - **Убывает на:** Нет интервалов убывания

Задание 2. Найдите интервалы возрастания и убывани функции \( \begin{array}{ll}\text { ) } y=-x^{3}+3 x^{2}+9 x+2 & \text { б) } y=1-\frac{4}{4 x-1}\end{array} \)

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions