Soient $$ f $$ et $$ g $$ deux applications tel que: $$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad ; \quad g:[1 ;+\infty[\rightarrow[2 ;+\infty[ $$ $$ x \mapsto f(x)=x^{2}+x+2 \quad ; \quad \mathbf{x} \mapsto g(x)=x+\frac{1}{x} $$ 1) a) Montrer que : $$ (\forall x \in \mathbb{R}) ; f(-1-x)=f(x) ; $$ b) En déduire que l'application $$ f $$ n'est pas injective. 2) Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation : $$ f(x)=-\frac{1}{4} $$, et déduire que $$ f $$ n'est pas surjective 3) Montrer que : $$ f(\mathbb{R})=\left[\frac{7}{4} ;+\infty[ \right. $$ 4) Montrer que $$ g $$ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.

Question

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1) a) Pour montrer que $$ f(-1-x) = f(x) $$, nous allons calculer $$ f(-1-x) $$ :

$$
f(-1-x) = (-1-x)^2 + (-1-x) + 2
$$

Calculons chaque terme :

$$
(-1-x)^2 = 1 + 2x + x^2
$$
$$
-1-x = -1 - x
$$
$$
f(-1-x) = (1 + 2x + x^2) + (-1 - x) + 2
$$
$$
= 1 + 2x + x^2 - 1 - x + 2
$$
$$
= x^2 + x + 2
$$
$$
= f(x)
$$

Ainsi, nous avons montré que $$ f(-1-x) = f(x) $$ pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$.

b) Pour montrer que $$ f $$ n'est pas injective, nous remarquons que si $$ f(-1-x) = f(x) $$, alors pour $$ x $$ et $$ -1-x $$ différents, $$ f $$ prend la même valeur. Par exemple, pour $$ x = 0 $$, nous avons $$ f(0) = f(-1) $$. Donc, $$ f $$ n'est pas injective.

2) Pour résoudre l'équation $$ f(x) = -\frac{1}{4} $$, nous devons résoudre :

$$
x^2 + x + 2 = -\frac{1}{4}
$$

En multipliant par 4 pour éliminer la fraction, nous obtenons :

$$
4x^2 + 4x + 8 = -1
$$
$$
4x^2 + 4x + 9 = 0
$$

Calculons le discriminant $$ \Delta $$ :

$$
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16 - 144 = -128
$$

Le discriminant est négatif, ce qui signifie qu'il n'y a pas de solutions réelles. Par conséquent, l'équation $$ f(x) = -\frac{1}{4} $$ n'a pas de solutions dans $$ \mathbb{R} $$, ce qui montre que $$ f $$ n'est pas surjective.

3) Pour montrer que $$ f(\mathbb{R}) = \left[\frac{7}{4}; +\infty\right[ $$, nous allons d'abord déterminer le minimum de $$ f(x) $$.

La fonction $$ f(x) = x^2 + x + 2 $$ est une parabole qui s'ouvre vers le haut. Le minimum se trouve au sommet de la parabole, donné par $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} $$.

Calculons $$ f\left(-\frac{1}{2}\right) $$ :

$$
f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 2
$$
$$
= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2
$$
$$
= \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}
$$

Ainsi, le minimum de $$ f(x) $$ est $$ \frac{7}{4} $$. Comme $$ f(x) $$ tend vers $$ +\infty $$ lorsque $$ x $$ tend vers $$ \pm\infty $$, nous avons :

$$
f(\mathbb{R}) = \left[\frac{7}{4}; +\infty\right[
$$

4) Pour montrer que $$ g(x) = x + \frac{1}{x} $$ est une bijection sur $$ [1; +\infty[ $$, nous allons d'abord montrer qu'elle est strictement croissante.

Calculons la dérivée de $$ g $$ :

$$
g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}
$$

Pour $$ x \geq 1 $$, $$ g'(x) \geq 0 $$ et $$ g'(x) = 0 $$ seulement pour $$ x = 1 $$. Donc, $$ g $$ est strictement croissante sur $$ [1; +\infty[ $$.

Ensuite, calculons les limites :

$$
\lim_{x \to 1} g(x) = 1 + 1 = 2
$$
$$
\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty
$$

Ainsi, $$ g $$ est continue, strictement croissante et atteint toutes les valeurs dans $$ [2; +\infty[ $$. Donc, $$ g $$ est une bijection.

Pour trouver la bijection réciproque $$ g^{-1}(y) $$, nous devons résoudre $$ y = x + \frac{1}{x} $$ pour $$ x $$. En multipliant par $$ x $$ et réarrangeant, nous obtenons :

$$
x^2 - yx + 1 = 0
$$

Le discriminant de cette équation est :

$$
\Delta = y^2 - 4
$$

Pour $$ y \geq 2 $$, $$ \Delta \geq 0 $$. Les solutions sont :

$$
x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}
$$

Comme $$ g $$ est strictement croissante, nous prenons la solution positive :

$$
g^{-1}(y) = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}
$$

Ainsi, la bijection réciproque est :

$$
g^{-1}(y) = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2} \quad \text{pour } y \in [2; +\infty[
$$
1) a) $$ f(-1-x) = f(x) $$ pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$. b) $$ f $$ n'est pas injective. 2) L'équation $$ f(x) = -\frac{1}{4} $$ n'a pas de solutions dans $$ \mathbb{R} $$, donc $$ f $$ n'est pas surjective. 3) $$ f(\mathbb{R}) = \left[\frac{7}{4}; +\infty\right[ $$. 4) $$ g $$ est une bijection et sa bijection réciproque est $$ g^{-1}(y) = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2} $$ pour $$ y \in [2; +\infty[ $$.

Soient et deux applications tel que:

a) Montrer que :
b) En déduire que l’application n’est pas injective.

Résoudre dans l’équation : , et déduire que n’est pas surjective

Montrer que :

Montrer que est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.

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Soient et deux applications tel que: a) Montrer que : b) En déduire que l’application n’est pas injective. Résoudre dans l’équation : , et déduire que n’est pas surjective Montrer que : Montrer que est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.