(1.0) Resolver la integral por el método de potencias trigonométricas $$ \int \cos ^{6} x \operatorname{sen}^{3} x d x $$ (1.0) Resolver la integral por el método de sustitución trigonométrica $$ \int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2 x^{4}} d x $$

Question

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$$
\textbf{1) Integral } \int \cos^{6} x\,\sin^{3} x\,dx.
$$

Utilizaremos el método de potencias trigonométricas. Primero, separamos una de las potencias de $$\sin x$$ para realizar la sustitución:
$$
\sin^{3} x = \sin^{2} x\,\sin x = \left(1-\cos^{2} x\right)\sin x.
$$
Luego, expresamos la integral como
$$
\int \cos^{6} x\,(1-\cos^{2} x)\,\sin x\,dx.
$$
Realizamos la sustitución
$$
u=\cos x,\quad du=-\sin x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx=-du.
$$
Con lo que la integral queda
$$
\int u^{6}(1-u^{2})(-\!du)=-\int u^{6}(1-u^{2})\,du.
$$
Desarrollamos el integrando:
$$
u^{6}(1-u^{2})=u^{6}-u^{8}.
$$
Entonces
$$
-\int \left(u^{6}-u^{8}\right) du = -\int u^{6}\,du + \int u^{8}\,du.
$$
Integramos término a término:
$$
-\frac{u^{7}}{7}+\frac{u^{9}}{9}+C.
$$
Finalmente, regresando a la variable $$x$$ (recordando que $$u=\cos x$$):
$$
\boxed{\int \cos^{6} x\,\sin^{3} x\,dx=-\frac{\cos^{7} x}{7}+\frac{\cos^{9} x}{9}+C.}
$$

$$
\textbf{2) Integral } \int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx.
$$

Se recomienda el método de sustitución trigonométrica, considerando que aparece $$\sqrt{x^2-36}$$. Para ello, se plantea la sustitución
$$
x=6\sec\theta,\quad \text{con } \theta\text{ en el intervalo que garantice } x>6.
$$
Derivamos:
$$
dx=6\sec\theta\tan\theta\,d\theta.
$$
Además,
$$
\sqrt{x^{2}-36}=\sqrt{36\sec^{2}\theta-36}=\sqrt{36(\sec^{2}\theta-1)}=6\tan\theta.
$$
Y
$$
x^{4}=(6\sec\theta)^{4}=1296\sec^{4}\theta.
$$
Reemplazamos en la integral:
$$
\int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{6\tan\theta}{1296\sec^{4}\theta}\cdot \left(6\sec\theta\tan\theta\,d\theta\right).
$$
Simplificamos:
$$
6\tan\theta\cdot6\sec\theta\tan\theta =36\,\sec\theta\,\tan^{2}\theta,
$$
entonces
$$
-\frac{1}{2}\int \frac{36\,\sec\theta\,\tan^{2}\theta}{1296\sec^{4}\theta}\,d\theta
=-\frac{1}{2}\int \frac{36}{1296}\frac{\tan^{2}\theta}{\sec^{3}\theta}\,d\theta.
$$
Observamos que
$$
\frac{36}{1296}=\frac{1}{36}\quad \text{y}\quad \frac{1}{\sec^{3}\theta}=\cos^{3}\theta.
$$
Por lo tanto, la integral se convierte en
$$
-\frac{1}{72}\int \tan^{2}\theta\,\cos^{3}\theta\,d\theta.
$$
Expresamos $$\tan^{2}\theta$$ en términos de seno y coseno:
$$
\tan^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta},
$$
por lo que
$$
\tan^{2}\theta\,\cos^{3}\theta=\sin^{2}\theta\,\cos\theta.
$$
La integral se simplifica a
$$
-\frac{1}{72}\int \sin^{2}\theta\,\cos\theta\,d\theta.
$$

Se realiza la sustitución
$$
u=\sin\theta,\quad du=\cos\theta\,d\theta,
$$
llegando a
$$
-\frac{1}{72}\int u^{2}\,du = -\frac{1}{72}\cdot\frac{u^{3}}{3} = -\frac{u^{3}}{216}+C.
$$
Volvemos a la variable $$\theta$$:
$$
-\frac{\sin^{3}\theta}{216}+C.
$$
Finalmente, se expresa $$\sin\theta$$ en función de $$x$$. Dado que
$$
x=6\sec\theta\quad\Longrightarrow\quad \sec\theta=\frac{x}{6}\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=\frac{6}{x},
$$
y considerando
$$
\tan\theta=\sqrt{\sec^{2}\theta-1}=\sqrt{\frac{x^{2}}{36}-1}=\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{6},
$$
se tiene
$$
\sin\theta=\tan\theta\,\cos\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{6}\cdot\frac{6}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{x}.
$$
Por lo tanto,
$$
-\frac{\sin^{3}\theta}{216} = -\frac{1}{216}\left(\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{x}\right)^{3} = -\frac{(x^{2}-36)^{\frac{3}{2}}}{216\,x^{3}}.
$$

La solución final es
$$
\boxed{\int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx=-\frac{(x^{2}-36)^{\frac{3}{2}}}{216\,x^{3}}+C.}
$$
$$ \textbf{1) Integral } \int \cos^{6} x\,\sin^{3} x\,dx = -\frac{\cos^{7} x}{7} + \frac{\cos^{9} x}{9} + C. $$ $$ \textbf{2) Integral } \int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx = -\frac{(x^{2}-36)^{\frac{3}{2}}}{216\,x^{3}} + C. $$

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