$$ \left. \begin{array} { l l } { f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt[ 3 ] { x } - 9 } & { \bigcirc f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt[ 3 ] { x - 9 } } \ { f ^ { - 1 } ( x ) = ( x + 9 ) ^ { 3 } } & { \bigcirc f ^ { - 1 } ( x ) = x ^ { 3 } - 9 } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l l } { f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt[ 3 ] { x } - 9 } & { \bigcirc f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt[ 3 ] { x - 9 } } \ { f ^ { - 1 } ( x ) = ( x + 9 ) ^ { 3 } } & { \bigcirc f ^ { - 1 } ( x ) = x ^ { 3 } - 9 } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar cuál de las expresiones dadas es la función inversa correcta de $$ f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$, analicemos cada una de las opciones proporcionadas:

1. **$$ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$**  
   Esta expresión no es la función inversa, sino que en realidad es la función original $$ f(x) $$.

2. **$$ \circ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 9} $$**  
   Esta expresión indica que primero se resta 9 al valor de $$ x $$ y luego se aplica la raíz cúbica. Veamos si esto es correcto:

Si $$ y = f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 9} $$, entonces para encontrar la función inversa:
   $$
   y^3 = x - 9 \implies x = y^3 + 9
   $$
   Por lo tanto, la función inversa correcta debería ser $$ f^{-1}(x) = x^3 + 9 $$, no $$ \sqrt[3]{x - 9} $$.

3. **$$ f^{-1}(x) = (x + 9)^3 $$**  
   Esta expresión es la función inversa correcta. Verifiquemos:

Dada $$ y = f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$, para encontrar $$ f^{-1}(x) $$:
   $$
   y + 9 = \sqrt[3]{x} \implies (y + 9)^3 = x
   $$
   Por lo tanto, $$ f^{-1}(x) = (x + 9)^3 $$ es la función inversa correcta.

4. **$$ \circ f^{-1}(x) = x^3 - 9 $$**  
   Esta expresión también representa una posible función inversa. Verifiquemos:

Si $$ y = f^{-1}(x) = x^3 - 9 $$, entonces:
   $$
   y + 9 = x^3 \implies x = \sqrt[3]{y + 9}
   $$
   Comparando con la función original $$ f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$, vemos que esta expresión también es válida como función inversa.

**Conclusión:**  
Las funciones inversas correctas de $$ f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$ son:

- $$ f^{-1}(x) = (x + 9)^3 $$
- $$ f^{-1}(x) = x^3 - 9 $$

Las expresiones $$ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$ y $$ \circ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 9} $$ **no** son funciones inversas correctas de $$ f(x) $$.
Las funciones inversas correctas de $$ f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 $$ son: - $$ f^{-1}(x) = (x + 9)^3 $$ - $$ f^{-1}(x) = x^3 - 9 $$ Las otras opciones no son funciones inversas correctas.

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