The function $$ f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{x y} $$ has a retarive maximum point at None of these $$ (0,0) $$ $$ (1,1) $$ $$ (-1,-1) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لإيجاد النقاط الحرجة للدالة $$ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + \frac{2}{xy} $$، نحتاج أولاً إلى حساب المشتقات الجزئية للدالة ثم نساويها بالصفر.

المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $$ x $$ هي:

$$
f_x = 2x - \frac{2}{x^2y}
$$

والمشتقة الجزئية بالنسبة لـ $$ y $$ هي:

$$
f_y = 2y - \frac{2}{xy^2}
$$

نساوي كل من المشتقتين بالصفر:

1. $$ 2x - \frac{2}{x^2y} = 0 $$
2. $$ 2y - \frac{2}{xy^2} = 0 $$

من المعادلة الأولى:

$$
2x = \frac{2}{x^2y} \implies 2x^3y = 2 \implies x^3y = 1 \quad (1)
$$

ومن المعادلة الثانية:

$$
2y = \frac{2}{xy^2} \implies 2y^3x = 2 \implies y^3x = 1 \quad (2)
$$

الآن، من المعادلتين (1) و(2) يمكننا أن نرى أن:

$$
x^3y = y^3x
$$

إذا قسمنا على $$ xy $$ (مع افتراض أن $$ x $$ و $$ y $$ غير صفرين):

$$
x^2 = y^2 \implies x = y \quad \text{أو} \quad x = -y
$$

إذا افترضنا $$ x = y $$:

من المعادلة (1):

$$
x^4 = 1 \implies x = 1 \quad \text{أو} \quad x = -1
$$

لذا، لدينا النقاط الحرجة:

1. $$ (1, 1) $$
2. $$ (-1, -1) $$

الآن، نحتاج إلى تحديد ما إذا كانت هذه النقاط تمثل نقاط حد أقصى أو حد أدنى. يمكننا استخدام اختبار المشتقات الثانية.

نحسب المشتقات الثانية:

$$
f_{xx} = 2 + \frac{4}{x^3y}
$$
$$
f_{yy} = 2 + \frac{4}{xy^3}
$$
$$
f_{xy} = \frac{2}{x^2y^2}
$$

نحسب قيمة $$ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 $$ عند النقاط الحرجة.

عند النقطة $$ (1, 1) $$:

$$
f_{xx} = 2 + 4 = 6
$$
$$
f_{yy} = 2 + 4 = 6
$$
$$
f_{xy} = 2
$$

لذا:

$$
D = 6 \cdot 6 - 2^2 = 36 - 4 = 32 > 0
$$

وبما أن $$ f_{xx} > 0 $$، فإن النقطة $$ (1, 1) $$ هي نقطة حد أدنى.

عند النقطة $$ (-1, -1) $$:

$$
f_{xx} = 2 + 4 = 6
$$
$$
f_{yy} = 2 + 4 = 6
$$
$$
f_{xy} = 2
$$

لذا:

$$
D = 6 \cdot 6 - 2^2 = 36 - 4 = 32 > 0
$$

وبما أن $$ f_{xx} > 0 $$، فإن النقطة $$ (-1, -1) $$ هي أيضًا نقطة حد أدنى.

لذا، لا توجد نقاط حد أقصى في هذه الحالة. الإجابة الصحيحة هي:

**لا شيء من هذه الخيارات.**
لا توجد نقاط حد أقصى.

The function has a retarive maximum point at
None of these

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

The function has a retarive maximum point at None of these