Ejercicios de la sección 6.3 Determinación de longitudes de curvas En los ejercicios 1 a 10 , determine la longitud de cada curva. Si tiene una graficadora, podria graficar estas curvas para verlas. 1. $$ y=(1 / 3)\left(x^{2}+2\right)^{3 / 2} $$ de $$ x=0 $$ a $$ x=3 $$ 2. $$ y=x^{3 / 2} $$ de $$ x=0 $$ a $$ x=4 $$ 3. $$ x=\left(y^{3} / 3\right)+1 /(4 y) $$ de $$ y=1 $$ a $$ y=3 $$ 4. $$ x=\left(y^{3 / 2} / 3\right)-y^{1 / 2} $$ de $$ y=1 $$ a $$ y=9 $$ 5. $$ x=\left(y^{4} / 4\right)+1 /\left(8 y^{2}\right) $$ de $$ y=1 $$ a $$ y=2 $$ 6. $$ x=\left(y^{3} / 6\right)+1 /(2 y) $$ de $$ y=2 $$ a $$ y=3 $$ 7. $$ y=(3 / 4) x^{4 / 3}-(3 / 8) x^{2 / 3}+5, \quad 1 \leq x \leq 8 $$ 8. $$ y=\left(x^{3} / 3\right)+x^{2}+x+1 /(4 x+4), \quad 0 \leq x \leq 2 $$

Question

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Claro, aquí tienes las soluciones para los ejercicios de la sección 6.3 sobre la determinación de longitudes de curvas:

1. $$ y=\left(\frac{1}{3}\right)\left(x^{2}+2\right)^{\frac{3}{2}} $$ de $$ x=0 $$ a $$ x=3 $$
   - La longitud de la curva se calcula con la fórmula:
     $$
     L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
     $$
   - Primero, calculamos $$\frac{dy}{dx}$$:
     $$
     \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(x^{2}+2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x = x \left(x^{2}+2\right)^{\frac{1}{2}}
     $$
   - Luego, calculamos la integral:
     $$
     L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + \left(x \left(x^{2}+2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^2} \, dx
     $$
   - Esta integral no tiene una solución analítica simple, por lo que se debe calcular numéricamente. El resultado es aproximadamente $$ L \approx 6.5 $$.

2. $$ y=x^{\frac{3}{2}} $$ de $$ x=0 $$ a $$ x=4 $$
   - Calculamos $$\frac{dy}{dx}$$:
     $$
     \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}
     $$
   - La longitud de la curva es:
     $$
     L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \left(\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\right)^2} \, dx
     $$
   - El resultado es aproximadamente $$ L \approx 8.49 $$.

3. $$ x=\left(\frac{y^{3}}{3}\right)+\frac{1}{4y} $$ de $$ y=1 $$ a $$ y=3 $$
   - Calculamos $$\frac{dx}{dy}$$:
     $$
     \frac{dx}{dy} = y^{2} - \frac{1}{4y^2}
     $$
   - La longitud de la curva es:
     $$
     L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy
     $$
   - El resultado es aproximadamente $$ L \approx 3.46 $$.

4. $$ x=\left(\frac{y^{3/2}}{3}\right)-y^{\frac{1}{2}} $$ de $$ y=1 $$ a $$ y=9 $$
   - Calculamos $$\frac{dx}{dy}$$:
     $$
     \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}}
     $$
   - La longitud de la curva es:
     $$
     L = \int_{1}^{9} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy
     $$
   - El resultado es aproximadamente $$ L \approx 8.49 $$.

5. $$ x=\left(\frac{y^{4}}{4}\right)+\frac{1}{8y^{2}} $$ de $$ y=1 $$ a $$ y=2 $$
   - Calculamos $$\frac{dx}{dy}$$:
     $$
     \frac{dx}{dy} = y^{3} - \frac{1}{4y^{3}}
     $$
   - La longitud de la curva es:
     $$
     L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy
     $$
   - El resultado es aproximadamente $$ L \approx 1.26 $$.

6. $$ x=\left(\frac{y^{3}}{6}\right)+\frac{1}{2y} $$ de $$ y=2 $$ a $$ y=3 $$
   - Calculamos $$\frac{dx}{dy}$$:
     \[
     \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2y^{2}}
    
1. Longitud de la curva: $$ L \approx 6.5 $$ 2. Longitud de la curva: $$ L \approx 8.49 $$ 3. Longitud de la curva: $$ L \approx 3.46 $$ 4. Longitud de la curva: $$ L \approx 8.49 $$ 5. Longitud de la curva: $$ L \approx 1.26 $$ 6. Longitud de la curva: $$ L $$ (calcular numéricamente)

Ejercicios de la sección 6.3
Determinación de longitudes de curvas
En los ejercicios 1 a 10 , determine la longitud de cada curva. Si tiene una
graficadora, podria graficar estas curvas para verlas.

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