El volumen del solido cuya base es la región limitada por \( y=x^{2} \) y \( y=13 x \) y sus secciones transversales perpendiculares al eje \( x \) son triángulos rectángulos isósceles con un lado sobre la base es:

Para determinar el volumen del sólido descrito, seguiremos los siguientes pasos: 1. **Identificar los límites de integración:** Las curvas \( y = x^2 \) y \( y = 13x \) se intersectan cuando: \[ x^2 = 13x \implies x(x - 13) = 0 \implies x = 0 \ \text{o} \ x = 13 \] Por lo tanto, el intervalo de integración es de \( x = 0 \) a \( x = 13 \). 2. **Determinar la longitud de la base de las secciones transversales:** La distancia vertical entre las dos curvas en un punto \( x \) es: \[ L(x) = 13x - x^2 \] 3. **Calcular el área de cada sección transversal:** Dado que las secciones transversales son triángulos rectángulos isósceles con un lado de longitud \( L(x) \) sobre la base, el área \( A(x) \) de cada triángulo es: \[ A(x) = \frac{L(x)^2}{2} = \frac{(13x - x^2)^2}{2} \] 4. **Establecer la integral para el volumen:** El volumen \( V \) del sólido se obtiene integrando el área de las secciones transversales a lo largo del intervalo de \( x \): \[ V = \int_{0}^{13} \frac{(13x - x^2)^2}{2} \, dx \] 5. **Resolver la integral:** Expandiendo el integrando: \[ (13x - x^2)^2 = 169x^2 - 26x^3 + x^4 \] Entonces: \[ V = \frac{1}{2} \int_{0}^{13} (x^4 - 26x^3 + 169x^2) \, dx \] Integrando término a término: \[ V = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{26x^4}{4} + \frac{169x^3}{3} \right]_{0}^{13} \] Evaluando en los límites: \[ V = \frac{1}{2} \left( \frac{371293}{5} - \frac{371293}{2} + \frac{371293}{3} \right) \] Simplificando: \[ V = \frac{371293}{60} \approx 6188.217 \ \text{unidades cúbicas} \] **Respuesta Final:** El volumen del sólido es aproximadamente 6 188,217 unidades cúbicas.