5. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones, indicar los intervalos en los cuales son crecientes o decrecientes, y graficarlas a) $$ g_{(x)}=\frac{1}{3}(x-5) $$ b) $$ f_{(x)}=-2 x^{2}-8 x+3 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar el dominio y rango de las funciones dadas, así como los intervalos en los que son crecientes o decrecientes, procederemos de la siguiente manera:

### a) $$ g(x) = \frac{1}{3}(x - 5) $$

**Dominio:**
La función $$ g(x) $$ es una función lineal, por lo que su dominio es todo el conjunto de los números reales:
$$
\text{Dominio: } (-\infty, \infty)
$$

**Rango:**
Al ser una función lineal, su rango también es todo el conjunto de los números reales:
$$
\text{Rango: } (-\infty, \infty)
$$

**Crecimiento y decrecimiento:**
La pendiente de la función $$ g(x) $$ es $$ \frac{1}{3} $$, que es positiva. Esto significa que la función es creciente en todo su dominio:
$$
\text{Creciente: } (-\infty, \infty)
$$

**Gráfica:**
La gráfica de $$ g(x) $$ es una línea recta que pasa por el punto $$ (5, 0) $$ y tiene una pendiente positiva.

### b) $$ f(x) = -2x^2 - 8x + 3 $$

**Dominio:**
La función $$ f(x) $$ es un polinomio de segundo grado, por lo que su dominio es también todo el conjunto de los números reales:
$$
\text{Dominio: } (-\infty, \infty)
$$

**Rango:**
Para encontrar el rango, primero identificamos que la función es una parábola que abre hacia abajo (ya que el coeficiente de $$ x^2 $$ es negativo). Para encontrar el vértice, utilizamos la fórmula $$ x_v = -\frac{b}{2a} $$:
$$
x_v = -\frac{-8}{2 \cdot -2} = -\frac{8}{-4} = 2
$$
Sustituyendo $$ x_v $$ en la función para encontrar el valor máximo:
$$
f(2) = -2(2^2) - 8(2) + 3 = -2(4) - 16 + 3 = -8 - 16 + 3 = -21
$$
Por lo tanto, el valor máximo de la función es $$ -21 $$ y la parábola se extiende hacia $$ -\infty $$. Así que el rango es:
$$
\text{Rango: } (-\infty, -21]
$$

**Crecimiento y decrecimiento:**
La función es decreciente en el intervalo $$ (-\infty, 2) $$ y creciente en el intervalo $$ (2, \infty) $$:
$$
\text{Decreciente: } (-\infty, 2) \quad \text{Creciente: } (2, \infty)
$$

**Gráfica:**
La gráfica de $$ f(x) $$ es una parábola que abre hacia abajo, con un vértice en $$ (2, -21) $$.

### Resumen

- **Función $$ g(x) = \frac{1}{3}(x - 5) $$**
  - Dominio: $$ (-\infty, \infty) $$
  - Rango: $$ (-\infty, \infty) $$
  - Creciente: $$ (-\infty, \infty) $$

- **Función $$ f(x) = -2x^2 - 8x + 3 $$**
  - Dominio: $$ (-\infty, \infty) $$
  - Rango: $$ (-\infty, -21] $$
  - Decreciente: $$ (-\infty, 2) $$
  - Creciente: $$ (2, \infty) $$

### Gráficas

Para graficar estas funciones, puedes usar software de gráficos o herramientas en línea. Aquí te dejo una descripción de cómo se verían:

- La gráfica de $$ g(x) $$ es una línea recta que sube de izquierda a derecha.
- La gráfica de $$ f(x) $$ es una parábola que tiene su punto más alto en $$ (2, -21) $$ y se abre hacia abajo.
Dominio y rango para $$ g(x) $$: $$ (-\infty, \infty) $$, creciente: $$ (-\infty, \infty) $$. Para $$ f(x) $$: Dominio $$ (-\infty, \infty) $$, rango $$ (-\infty, -21] $$, decreciente: $$ (-\infty, 2) $$, creciente: $$ (2, \infty) $$.

Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones, indicar los intervalos en los
cuales son crecientes o decrecientes, y graficarlas
a)
b)

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