2. (1 punto) En un cierto instante, un auto que marcha a \( 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) por un camino recto y horizontal, avista un árbol caído 150 metros más adelante. Si tarda 2 segundos en reaccionar y oprimir el freno para luego reducir su velocidad uniformemente, calcule el módulo de la minima aceleración constante que debe lograr para detenerse justo antes de impactar con el árbol. Respuesta:_

Para resolver este problema, primero convertimos la velocidad del auto, que está en km/h, a m/s. Usamos la conversión \( 90 \mathrm{~km/h} = 25 \mathrm{~m/s} \). Luego, el auto tarda 2 segundos en reaccionar, lo que significa que recorrerá una distancia en ese tiempo: \[ d_{reacción} = v \cdot t = 25 \mathrm{~m/s} \cdot 2 \mathrm{~s} = 50 \mathrm{~m}. \] Luego, la distancia total hasta el árbol es de 150 m, así que la distancia que quedará para detenerse será: \[ d_{frenado} = 150 \mathrm{~m} - 50 \mathrm{~m} = 100 \mathrm{~m}. \] Ahora utilizamos la ecuación de movimiento uniformemente acelerado que relaciona la distancia, la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo. La fórmula es: \[ d = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a t^2. \] Sabemos que el auto debe detenerse, por lo que la velocidad final \( v_f = 0 \). La velocidad inicial \( v_i = 25 \mathrm{~m/s} \) y la distancia \( d = 100 \mathrm{~m} \). También podemos relacionar la velocidad inicial, velocidad final y aceleración usando otra ecuación: \[ v_f^2 = v_i^2 + 2a d, \] Sustituyendo \( v_f = 0 \): \[ 0 = (25 \mathrm{~m/s})^2 + 2a (100 \mathrm{~m}). \] Resolviendo: \[ 0 = 625 \mathrm{~m}^2/\mathrm{s}^2 + 200a, \] \[ 200a = -625, \] \[ a = \frac{-625}{200} = -3.125 \mathrm{~m/s}^2. \] Así que la aceleración mínima que debe lograr el auto para detenerse justo antes de impactar con el árbol es aproximadamente \( 3.125 \mathrm{~m/s}^2 \).