Esercizio 3. (a) (4pt) Calcolare raggio e centro della circonferenza $$ \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-4 y+2 z=3 \ x+y+2 z=4\end{array}\right. $$ (b) (4pt) Costruire una sfera tangente al piano $$ \pi: x+2 y-z=0 $$ (c) (4pt) Calcolare l'area del triangolo di vertici $$ A(1,0,-1), B(-1,2,1) $$ e $$ C(-2,1,3) $$

Question

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**Esercizio 3**

**a) Calcolare raggio e centro della circonferenza**

Consideriamo il sistema:

$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+2z=3 \
x + y + 2z =4
\end{cases}
$$

1. **Forma standard della sfera:**

Completiamo i quadrati per ottenere la forma standard della sfera.

$$
x^{2} + 2x = (x + 1)^2 -1
$$
$$
y^{2} - 4y = (y - 2)^2 -4
$$
$$
z^{2} + 2z = (z + 1)^2 -1
$$

Sostituendo nella prima equazione:

$$
(x + 1)^2 -1 + (y - 2)^2 -4 + (z + 1)^2 -1 = 3 \
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9
$$

Quindi, la sfera ha centro $$ C(-1, 2, -1) $$ e raggio $$ R = 3 $$.

2. **Determinazione della circonferenza di intersezione:**

La circonferenza è l'intersezione tra la sfera e il piano $$ x + y + 2z =4 $$.

- **Distanza dal centro al piano:**

$$
d = \frac{|1(-1) + 1(2) + 2(-1) -4|}{\sqrt{1^2 +1^2 +2^2}} = \frac{|-1 +2 -2 -4|}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}
$$

- **Raggio della circonferenza:**

$$
r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{9 - \left(\frac{5}{\sqrt{6}}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{25}{6}} = \sqrt{\frac{54 -25}{6}} = \sqrt{\frac{29}{6}} = \frac{\sqrt{174}}{6}
$$

- **Centro della circonferenza:**

Il centro è la proiezione di $$ C(-1, 2, -1) $$ sul piano.

$$
C' = C - \frac{d}{\|n\|} n = (-1, 2, -1) - \frac{5}{6} (1,1,2) = \left(-\frac{11}{6}, \frac{7}{6}, -\frac{8}{3}\right)
$$

**Risultato:**

- **Centro della circonferenza:** $$ \left(-\frac{11}{6}, \frac{7}{6}, -\frac{8}{3}\right) $$
- **Raggio della circonferenza:** $$ \sqrt{\frac{29}{6}} $$ oppure $$ \frac{\sqrt{174}}{6} $$

---

**b) Costruire una sfera tangente al piano $$ \pi: x + 2y - z =0 $$**

Per costruire una sfera tangente al piano $$ \pi $$, bisogna assicurarsi che la distanza tra il centro della sfera $$ C(x_0, y_0, z_0) $$ e il piano sia uguale al raggio $$ R $$ della sfera.

La distanza $$ d $$ dal centro al piano è:

$$
d = \frac{|x_0 + 2y_0 - z_0|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|x_0 + 2y_0 - z_0|}{\sqrt{6}}
$$

Condizione di tangenza:

$$
d = R \Rightarrow \frac{|x_0 + 2y_0 - z_0|}{\sqrt{6}} = R
$$

Una possibile costruzione è scegliere un centro $$ C $$ situato a distanza $$ R $$ dal piano. Ad esempio, scegliamo $$ C(0,0,R \sqrt{6}) $$, così:

$$
0 + 2 \cdot 0 - R \sqrt{6} = -R \sqrt{6}
$$

$$
\frac{|-R \sqrt{6}|}{\sqrt{6}} = R
$$

La sfera avrà quindi equazione:

$$
x^2 + y^2 + z^2 + 0x + 0y + (-2R \sqrt{6})z + \dots = 0
$$

In generale, una sfera tangente al piano $$ \pi $$ può essere espressa come:

$$
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
$$

dove $$ \frac{|x_0 + 2y_0 - z_0|}{\sqrt{6}} = R $$.

---

**c) Calcolare l'area del triangolo di vertici $$ A(1,0,-1), B(-1,2,1) $$ e $$ C(-2,1,3) $$**

Calcoliamo i vettori:

$$
\vec{AB} = B - A = (-1-1, 2-0, 1-(-1)) = (-2, 2, 2)
$$
$$
\vec{AC} = C - A = (-2-1, 1-0, 3-(-1)) = (-3, 1, 4)
$$

Calcoliamo il prodotto vettoriale $$ \vec{AB} \times \vec{AC} $$:

$$
\vec{AB} \times \vec{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & 2 & 2 \
-3 & 1 & 4 \
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot 4 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 4 - 2 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 2 \cdot (-3)) \
= \mathbf{i}(8 -2) - \mathbf{j}(-8 +6) + \mathbf{k}(-2 +6) \
= 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k}
$$

Modulo del prodotto vettoriale:

$$
\| \vec{AB} \times \vec{AC} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36 +4 +16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}
$$

Area del triangolo:

$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \| \vec{AB} \times \vec{AC} \| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{14} = \sqrt{14}
$$

**Risultato:**

L'area del triangolo è $$ \sqrt{14} $$ unità quadrate.
**Esercizio 3** **a) Raggio e centro della circonferenza** - **Centro:** $$ \left(-\frac{11}{6}, \frac{7}{6}, -\frac{8}{3}\right) $$ - **Raggio:** $$ \sqrt{\frac{29}{6}} $$ o $$ \frac{\sqrt{174}}{6} $$ **b) Sfera tangente al piano $$ \pi: x + 2y - z =0 $$** Una sfera tangente al piano può essere costruita con qualsiasi centro $$ C(x_0, y_0, z_0) $$ tale che: $$ \frac{|x_0 + 2y_0 - z_0|}{\sqrt{6}} = R $$ **c) Area del triangolo $$ ABC $$** - **Vertici:** $$ A(1,0,-1) $$, $$ B(-1,2,1) $$, $$ C(-2,1,3) $$ - **Area:** $$ \sqrt{14} $$ unità quadrate

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