Calcule o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pela curva $$ y = x^{2} $$ e a linha $$ y = 4 $$ em torno do eixo x, onde as seções transversais são triângulos isósceles com base na linha do limite.

Question

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Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pela curva $$ y = x^{2} $$ e pela linha $$ y = 4 $$ em torno do eixo $$ x $$, com seções transversais sendo triângulos isósceles com base na linha $$ y = 4 $$, seguimos os seguintes passos:

### 1. **Determinar os Pontos de Interseção**

Primeiro, encontramos os pontos onde $$ y = x^{2} $$ intercepta $$ y = 4 $$:
$$
x^{2} = 4 \implies x = \pm 2
$$
Portanto, os limites de integração serão de $$ x = -2 $$ a $$ x = 2 $$.

### 2. **Área da Seção Transversal**

Para cada $$ x $$ no intervalo $$[-2, 2]$$, a base do triângulo isósceles tem comprimento $$ b = 4 - x^{2} $$. Supondo que cada triângulo tenha essa base e uma altura $$ h $$ proporcional, a área $$ A(x) $$ de cada seção transversal é:
$$
A(x) = \frac{1}{2} \times b \times h
$$
Assumindo que a altura $$ h $$ seja igual à base $$ b $$ (o que é uma hipótese comum em tais problemas, a menos que outra informação seja fornecida), temos:
$$
A(x) = \frac{1}{2} (4 - x^{2})^{2}
$$

### 3. **Calcular o Volume**

O volume total $$ V $$ do sólido é dado pela integral das áreas das seções transversais ao longo do intervalo de $$ x $$:
$$
V = \int_{-2}^{2} A(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} (4 - x^{2})^{2} \, dx
$$
Como a função é par ($$ A(-x) = A(x) $$), podemos simplificar multiplicando a integral de $$ 0 $$ a $$ 2 $$ por $$ 2 $$:
$$
V = \int_{0}^{2} (4 - x^{2})^{2} \, dx
$$
Expandindo $$ (4 - x^{2})^{2} $$:
$$
(4 - x^{2})^{2} = 16 - 8x^{2} + x^{4}
$$
Então, a integral torna-se:
$$
V = \int_{0}^{2} (16 - 8x^{2} + x^{4}) \, dx = \left[16x - \frac{8}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{2}
$$
Calculando nos limites:
$$
V = \left(16 \times 2 - \frac{8}{3} \times 8 + \frac{1}{5} \times 32\right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}
$$
Convertendo para um denominador comum (15):
$$
32 = \frac{480}{15}, \quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15}
$$
Portanto:
$$
V = \frac{480}{15} - \frac{320}{15} + \frac{96}{15} = \frac{256}{15}
$$

### **Resposta Final**

O volume do sólido é $$ \boxed{\dfrac{256}{15}} $$ unidades cúbicas.
O volume do sólido é $$ \frac{256}{15} $$ unidades cúbicas.

Calcule o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pela curva e a linha em torno do eixo x, onde as seções transversais são triângulos isósceles com base na linha do limite.

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