17. Prove que \( \sqrt{3} \) é irracional. 18. Prove que \( \sqrt{p} \) é irracional. onde \( p>1 \) é um número primo qualquer. 19. Prove que, se \( p \) e \( q \) forem números primos distintos, então \( \sqrt{p q} \) é irracional.

Vamos provar cada uma das afirmações passo a passo. --- **17. Prove que \( \sqrt{3} \) é irracional.** **Prova:** Vamos provar por contradição, assumindo que \( \sqrt{3} \) é racional. 1. **Assunção Inicial:** Suponha que \( \sqrt{3} = \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são números inteiros positivos co-primos (não têm divisor comum além de 1), ou seja, a fração está reduzida à menor forma. 2. **Elevando ao quadrado ambos os lados:** \[ 3 = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = 3b^2 \] 3. **Análise dos fatores primos:** A equação \( a^2 = 3b^2 \) mostra que \( a^2 \) é múltiplo de 3, o que implica que \( a \) também é múltiplo de 3 (já que 3 é primo). Portanto, podemos escrever \( a = 3k \), onde \( k \) é um inteiro. 4. **Substituindo na equação original:** \[ (3k)^2 = 3b^2 \implies 9k^2 = 3b^2 \implies b^2 = 3k^2 \] Isso implica que \( b^2 \) também é múltiplo de 3, o que, por similar raciocínio, mostra que \( b \) é múltiplo de 3. 5. **Contradição:** Se tanto \( a \) quanto \( b \) são múltiplos de 3, então eles têm um divisor comum maior que 1, o que contraria nossa hipótese inicial de que \( a \) e \( b \) são co-primos. 6. **Conclusão:** A suposição de que \( \sqrt{3} \) é racional leva a uma contradição. Portanto, \( \sqrt{3} \) é irracional. --- **18. Prove que \( \sqrt{p} \) é irracional, onde \( p > 1 \) é um número primo qualquer.** **Prova:** A prova segue um raciocínio similar ao da afirmação anterior, generalizando para qualquer número primo \( p \). 1. **Assunção Inicial:** Suponha que \( \sqrt{p} = \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros positivos co-primos. 2. **Elevando ao quadrado ambos os lados:** \[ p = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = p b^2 \] 3. **Análise dos fatores primos:** A equação \( a^2 = p b^2 \) implica que \( a^2 \) é múltiplo de \( p \). Como \( p \) é primo, \( a \) também deve ser múltiplo de \( p \). Assim, podemos escrever \( a = p k \), onde \( k \) é um inteiro. 4. **Substituindo na equação original:** \[ (p k)^2 = p b^2 \implies p^2 k^2 = p b^2 \implies p k^2 = b^2 \] Isso implica que \( b^2 \) é múltiplo de \( p \), e portanto \( b \) é múltiplo de \( p \). 5. **Contradição:** Se \( a = p k \) e \( b \) é múltiplo de \( p \), então \( a \) e \( b \) têm \( p \) como divisor comum, o que contraria a hipótese de que são co-primos. 6. **Conclusão:** A suposição de que \( \sqrt{p} \) é racional leva a uma contradição. Portanto, \( \sqrt{p} \) é irracional para qualquer número primo \( p > 1 \). --- **19. Prove que, se \( p \) e \( q \) forem números primos distintos, então \( \sqrt{p q} \) é irracional.** **Prova:** Novamente, utilizaremos o método da contradição. 1. **Assunção Inicial:** Suponha que \( \sqrt{p q} = \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros positivos co-primos. 2. **Elevando ao quadrado ambos os lados:** \[ p q = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = p q b^2 \] 3. **Análise dos fatores primos:** A equação \( a^2 = p q b^2 \) implica que \( a^2 \) é múltiplo de \( p \) e de \( q \). Como \( p \) e \( q \) são primos distintos, isso implica que \( a \) é múltiplo de \( p \) e também de \( q \). Assim, podemos escrever \( a = p q k \), onde \( k \) é um inteiro. 4. **Substituindo na equação original:** \[ (p q k)^2 = p q b^2 \implies p^2 q^2 k^2 = p q b^2 \implies p q k^2 = b^2 \] Isso implica que \( b^2 \) é múltiplo de \( p q \), e portanto \( b \) é múltiplo de \( p \) e de \( q \). 5. **Contradição:** Se \( a = p q k \) e \( b \) é múltiplo de \( p \) e de \( q \), então \( a \) e \( b \) têm \( p \) e \( q \) como divisores comuns, o que contraria a hipótese de que são co-primos (já que \( p \) e \( q \) são distintos e ambos dividem \( a \) e \( b \)). 6. **Conclusão:** A suposição de que \( \sqrt{p q} \) é racional leva a uma contradição. Portanto, \( \sqrt{p q} \) é irracional quando \( p \) e \( q \) são números primos distintos. --- Em resumo, todas as três afirmações são verdadeiras, e as provas utilizam o método de redução ao absurdo, explorando as propriedades dos números primos e a impossibilidade de reduzir a fração a sua forma mais simples sem encontrar uma contradição.