Una piramide retta alta 10 cm ha per base
un triangolo isoscele il cui perimetro
è 80 cm e il lato obliquo 25 cm . Calcola
l’area totale della piramide.

Question

Una piramide retta alta 10 cm ha per base un triangolo isoscele il cui perimetro è 80 cm e il lato obliquo 25 cm . Calcola l'area totale della piramide.

UpStudy AI · Accepted Answer

Determiniamo l'area totale della piramide seguendo questi passaggi.

### 1. Dati della Piramide e del Triangolo Base

- Altezza della piramide: $$ h = 10~\text{cm} $$.
- Il triangolo base è isoscele con perimetro $$ P = 80~\text{cm} $$ e i lati obliqui di lunghezza $$ 25~\text{cm} $$.

Indichiamo con:
- I due lati uguali: $$ a = 25~\text{cm} $$ e $$ b = 25~\text{cm} $$.
- Il terzo lato: $$ c $$.

Dal perimetro si ha:
$$
25 + 25 + c = 80 \quad \Longrightarrow \quad c = 80 - 50 = 30~\text{cm}.
$$

### 2. Area del Triangolo Base

Utilizziamo la formula di Erone. Il semiperimetro è:
$$
s = \frac{80}{2} = 40~\text{cm}.
$$

L'area del triangolo è:
$$
A_{\text{base}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{40(40-25)(40-25)(40-30)}.
$$
Calcoliamo:
$$
A_{\text{base}} = \sqrt{40 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 10} = \sqrt{90000} = 300~\text{cm}^2.
$$

### 3. Calcolo delle Aree delle Facce Laterali

Per una piramide retta l'apice proiettato sul piano della base è il baricentro del triangolo. Nel triangolo, la distanza dal baricentro a un lato è pari a un terzo dell'altezza relativa a quel lato.

#### a) Faccia Laterale relativa al lato $$ c = 30~\text{cm} $$

1. Calcoliamo l'altezza del triangolo relativa al lato $$ c $$:
   $$
   h_c = \frac{2A_{\text{base}}}{c} = \frac{600}{30} = 20~\text{cm}.
   $$
2. La distanza dal baricentro al lato $$ c $$ è:
   $$
   d_c = \frac{h_c}{3} = \frac{20}{3}~\text{cm}.
   $$
3. Il raggio laterale (o altezza inclinata) della faccia, ottenuto dal triangolo rettangolo avente cateti $$ h $$ e $$ d_c $$, è:
   $$
   l_c = \sqrt{h^2 + d_c^2} = \sqrt{10^2 + \left(\frac{20}{3}\right)^2} = \sqrt{100+\frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{900+400}{9}} = \frac{\sqrt{1300}}{3} = \frac{10\sqrt{13}}{3}.
   $$
4. L'area della faccia laterale è:
   $$
   A_{L,c} = \frac{1}{2}\cdot c \cdot l_c = \frac{1}{2}\cdot 30 \cdot \frac{10\sqrt{13}}{3} = 15 \cdot \frac{10\sqrt{13}}{3} = 50\sqrt{13}~\text{cm}^2.
   $$

#### b) Facce Laterali relative ai lati obliqui $$ a = 25~\text{cm} $$ (due facce)

1. Calcoliamo l'altezza del triangolo relativa a uno dei lati $$ 25~\text{cm} $$:
   $$
   h_{25} = \frac{2A_{\text{base}}}{25} = \frac{600}{25} = 24~\text{cm}.
   $$
2. La distanza dal baricentro al lato $$ 25 $$ è:
   $$
   d_{25} = \frac{h_{25}}{3} = \frac{24}{3} = 8~\text{cm}.
   $$
3. Il raggio laterale della faccia è:
   $$
   l_{25} = \sqrt{h^2 + d_{25}^2} = \sqrt{10^2+8^2} = \sqrt{100+64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}.
   $$
4. L'area di una faccia è:
   $$
   A_{L,25} = \frac{1}{2}\cdot 25 \cdot (2\sqrt{41}) = 25\sqrt{41}~\text{cm}^2.
   $$
   Poiché ci sono due facce:
   $$
   A_{\text{L,obliqui}} = 2 \cdot 25\sqrt{41} = 50\sqrt{41}~\text{cm}^2.
   $$

### 4. Area Totale della Piramide

L'area totale è data dalla somma dell'area della base e delle aree delle tre facce laterali:
$$
A_{\text{totale}} = A_{\text{base}} + A_{L,c} + A_{\text{L,obliqui}} = 300 + 50\sqrt{13} + 50\sqrt{41}~\text{cm}^2.
$$

Quindi, l'area totale della piramide è:
$$
\boxed{300 + 50\sqrt{13} + 50\sqrt{41}~\text{cm}^2}.
$$
L'area totale della piramide è $$ 300 + 50\sqrt{13} + 50\sqrt{41} $$ cm².

Una piramide retta alta 10 cm ha per base
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è 80 cm e il lato obliquo 25 cm . Calcola
l’area totale della piramide.

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