13. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 pies/s a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido se desplaza la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 pies del poste?

Para resolver este problema, podemos utilizar un triángulo similar. Si llamamos \( L \) a la longitud de la sombra del hombre y \( x \) a la distancia del hombre al poste, con \( h_p \) como la altura del poste (15 pies) y \( h_h \) como la altura del hombre (6 pies), podemos establecer la proporción: \[ \frac{h_p}{x + L} = \frac{h_h}{L} \] Sustituyendo los valores: \[ \frac{15}{x + L} = \frac{6}{L} \] Esta ecuación puede ayudarnos a encontrar la relación entre \( L \) y \( x \). Al derivar ambos lados respecto al tiempo \( t \), y con \( x = 40 \) pies y \( \frac{dx}{dt} = 5 \) pies/s, podemos determinar la velocidad de la punta de la sombra \( \frac{dL}{dt} \). Resolviendo, encontramos que cuando el hombre está a 40 pies del poste, la punta de su sombra se desplaza a una velocidad de aproximadamente 15 pies/s. ¡Así que la sombra está viajando casi tan rápido como un corredor olímpico!