13. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 pies/s a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido se desplaza la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 pies del poste?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver este problema, utilizaremos conceptos de geometría y derivadas relacionadas.

**Datos del problema:**
- Altura del poste: 15 pies.
- Altura del hombre: 6 pies.
- Velocidad a la que el hombre se aleja del poste: 5 pies/s.
- Distancia del hombre al poste en el momento considerado: 40 pies.

**Paso 1: Relación geométrica**

Consideremos:
- $$ x $$: distancia del hombre al poste.
- $$ y $$: distancia desde el poste hasta la punta de la sombra.

Usando triángulos similares, la relación entre las alturas y las distancias es:

$$
\frac{15}{y} = \frac{6}{y - x}
$$

**Paso 2: Resolución de la ecuación**

Multiplicamos cruzado:

$$
15(y - x) = 6y
$$

Expandimos:

$$
15y - 15x = 6y
$$

Reorganizamos términos:

$$
15y - 6y = 15x \
9y = 15x \
y = \frac{15}{9}x = \frac{5}{3}x
$$

**Paso 3: Derivación respecto al tiempo**

Derivamos ambos lados con respecto al tiempo $$ t $$:

$$
\frac{dy}{dt} = \frac{5}{3} \frac{dx}{dt}
$$

Dado que $$ \frac{dx}{dt} = 5 $$ pies/s:

$$
\frac{dy}{dt} = \frac{5}{3} \times 5 = \frac{25}{3} \ \text{pies/s}
$$

**Conclusión:**

Cuando el hombre está a 40 pies del poste, la punta de su sombra se desplaza a una velocidad de $$ \frac{25}{3} $$ pies por segundo, es decir, aproximadamente 8.33 pies/s.
Cuando el hombre está a 40 pies del poste, la punta de su sombra se mueve a una velocidad de $$ \frac{25}{3} $$ pies por segundo, lo que es aproximadamente 8.33 pies por segundo.

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