II. - Calcular el valor de la funcion \( y \) dar el procedimiento a detalle: a) \( f(x)=-\frac{3}{\sqrt{x-1}} \), calcular \( f(1), f\left(\frac{5}{4}\right), \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) si \( h=0 \)

Claro, resolvamos cada parte del problema paso a paso. Dada la función: \[ f(x) = -\frac{3}{\sqrt{x - 1}} \] ### 1. Calcular \( f(1) \) Sustituimos \( x = 1 \) en la función: \[ f(1) = -\frac{3}{\sqrt{1 - 1}} = -\frac{3}{\sqrt{0}} \] La raíz cuadrada de 0 es 0, por lo tanto: \[ f(1) = -\frac{3}{0} \] Dividir por cero no está definido en matemáticas. Por lo tanto: \[ f(1) \text{ no está definido} \] ### 2. Calcular \( f\left(\frac{5}{4}\right) \) Sustituimos \( x = \frac{5}{4} \) en la función: \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{\sqrt{\frac{5}{4} - 1}} \] Simplificamos dentro de la raíz: \[ \frac{5}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4} \] Entonces: \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{\sqrt{\frac{1}{4}}} \] La raíz cuadrada de \( \frac{1}{4} \) es \( \frac{1}{2} \): \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -3 \times 2 = -6 \] Por lo tanto: \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = -6 \] ### 3. Calcular \( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) cuando \( h = 0 \) La expresión dada es: \[ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \] Sustituimos la función \( f(x) = -\frac{3}{\sqrt{x - 1}} \): \[ \frac{-\frac{3}{\sqrt{(x + h) - 1}} - \left(-\frac{3}{\sqrt{x - 1}}\right)}{h} = \frac{-\frac{3}{\sqrt{x + h - 1}} + \frac{3}{\sqrt{x - 1}}}{h} \] Simplificamos: \[ \frac{3}{\sqrt{x - 1}} - \frac{3}{\sqrt{x + h - 1}} \] \[ = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + h - 1}} \right) \] Dividimos por \( h \): \[ \frac{3 \left( \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + h - 1}} \right)}{h} \] Ahora, evaluamos cuando \( h = 0 \): \[ \frac{3 \left( \frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} \right)}{0} = \frac{3 \times 0}{0} = \frac{0}{0} \] Esta expresión es **indeterminada** cuando \( h = 0 \), ya que no se puede dividir por cero y no tenemos una forma definida del límite. Por lo tanto: \[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \text{ no está definido cuando } h = 0 \]