$$ \int \frac { x - 1 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } d x = \frac { A } { x + 1 } + \frac { B } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { C } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la integral:

$$
\int \frac{x - 1}{(x + 1)^3} \, dx
$$

Podemos emplear una **sustitución** para simplificar la expresión.

1. **Sustitución**:
   Sea $$ u = x + 1 $$. Entonces, la derivada de $$ u $$ con respecto a $$ x $$ es:
   $$
   du = dx \quad \text{y} \quad x = u - 1
   $$

2. **Reescribir la integral en términos de $$ u $$**:
   Sustituyendo en la integral original:
   $$
   \int \frac{(u - 1) - 1}{u^3} \, du = \int \frac{u - 2}{u^3} \, du = \int \left( \frac{1}{u^2} - \frac{2}{u^3} \right) \, du
   $$

3. **Integrar término a término**:
   $$
   \int \frac{1}{u^2} \, du - 2 \int \frac{1}{u^3} \, du = -\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} + C
   $$
   donde $$ C $$ es la constante de integración.

4. **Volver a la variable original $$ x $$**:
   Reemplazando $$ u = x + 1 $$:
   $$
   -\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)^2} + C
   $$

Comparando con la expresión dada:
$$
\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{C}{(x + 1)^3}
$$
Podemos identificar los coeficientes:

- $$ A = -1 $$
- $$ B = 1 $$
- $$ C = 0 $$

**Respuesta Final**:
$$
A = -1, \quad B = 1, \quad C = 0
$$
Los coeficientes son $$ A = -1 $$, $$ B = 1 $$, y $$ C = 0 $$.

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