Pregunta
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The area limited to and
and ?

Ask by Boone Peters. in Iran
Jan 26,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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To solve the double integral over the region bounded by , , , and , follow these steps:
  1. Find Intersection Points:
    • and do not intersect.
    • and intersect at .
    • and intersect at .
    • and intersect at .
    • and intersect at .
    • and intersect at .
  2. Determine Region :
    • Vertices: , , .
  3. Set Up the Integral:
    • Use the transformation and .
    • Jacobian .
    • Limits for from 1 to 4.
    • Limits for based on the lines.
  4. Compute the Integral:
    • Determine and based on the region.
  5. Evaluate the Integral:
    • Integrate with respect to first.
    • Then integrate with respect to .
After performing the calculations, the value of the integral is .
Answer: The value of the integral is .

Solución

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Bonus Knowledge

To find the double integral over the specified region, we first need to determine the vertices of the region defined by the lines , , , and .
  1. Finding Intersection Points:
    • Intersection of and :
      Substituting (1) into (2), we have:
      Point:
    • Intersection of and :
      Substituting (1) into (2):
      Point:
    • Intersection of and :
      Substituting (1) into (2):
      Point:
    • Intersection of and :
      Substituting:
      Point:
Final vertices for the region : , , , and intersects at .
  1. Setting Up the Integral:
    The limits of the double integral will be determined by the bounding lines. A transformation can be made using and , adjusting the Jacobian and integrating accordingly.
  2. Calculating the Integral:
    We will integrate over the transformed bounds once defined clearly through the vertices using a suitable approach, such as Fubini’s Theorem.
In the next step, set proper bounds in each integral according to the area bounded in terms of and , and evaluate the definite integral.
The complete evaluation will give a numerical result representing the area under the curve defined by .
The calculated definite integral will yield the solution to the original problem posed!

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