Encontrar el área de la función $$ f(x)=2 x^{3} $$ en el intervalo $$ [1,2] $$ a $$ \int_{1}^{2} 2 x^{3} d x=\frac{16}{4} $$ b $$ \quad \int_{1}^{2} 2 x^{3} d x=\frac{16}{2} $$ c $$ \quad \int_{1}^{2} 2 x^{3} d x=\frac{15}{2} $$ d $$ \quad \int_{1}^{2} 2 x^{3} d x=\frac{15}{4} $$

Question

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1. **Definición del problema**

Queremos hallar el área bajo la curva de la función $$ f(x)=2x^{3} $$ en el intervalo $$[1,2]$$, lo cual se obtiene evaluando la integral definida:
   
   $$
   \int_{1}^{2} 2x^{3} \, dx
   $$

2. **Cálculo de la integral**

Primero, extraemos la constante $$2$$ fuera de la integral:
   
   $$
   \int_{1}^{2} 2x^{3} \, dx = 2 \int_{1}^{2} x^{3} \, dx
   $$
   
3. **Antiderivada de $$x^{3}$$**

La antiderivada de $$x^{3}$$ es:
   
   $$
   \int x^{3} \, dx = \frac{x^{4}}{4} + C
   $$
   
   Por lo tanto:
   
   $$
   2 \int_{1}^{2} x^{3} \, dx = 2 \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2}
   $$

4. **Evaluación de la integral definida**

Sustituimos los límites de integración:
   
   $$
   2 \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = 2 \left(\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}\right) = 2 \left(\frac{16}{4} - \frac{1}{4}\right)
   $$
   
   Simplificamos:
   
   $$
   2 \left(\frac{16-1}{4}\right) = 2 \left(\frac{15}{4}\right)
   $$
   
   Multiplicamos:
   
   $$
   2 \left(\frac{15}{4}\right) = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}
   $$

5. **Respuesta final**

El área bajo la curva $$ f(x)=2x^{3} $$ en el intervalo $$[1,2]$$ es:
   
   $$
   \frac{15}{2}
   $$
   
   Por lo tanto, la opción correcta es la (c).
El área bajo la curva $$ f(x)=2x^{3} $$ en el intervalo $$[1,2]$$ es $$ \frac{15}{2} $$.

Encontrar el área de la función en el intervalo
a
b
c
d

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