$$ \frac { d y } { d x } = - \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { 2 x y } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos la ecuación diferencial
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y^2}{2xy}.
$$
Procedemos paso a paso:

1. **Verificar que la ecuación es homogénea.**  
   El numerador $$x^2 + y^2$$ y el denominador $$2xy$$ son funciones homogéneas de grado 2. Esto nos sugiere usar la sustitución  
   $$
   v = \frac{y}{x}\quad \text{con}\quad y = vx,
   $$
   de manera que  
   $$
   \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
   $$

2. **Sustituir en la ecuación original.**  
   Reemplazamos $$y = vx$$ y $$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$$:
   $$
   v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)}.
   $$
   Simplificamos el lado derecho:
   $$
   x^2 + (vx)^2 = x^2(1 + v^2),
   $$
   y
   $$
   2x(vx) = 2v x^2.
   $$
   Entonces,
   $$
   v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{x^2(1+v^2)}{2v x^2} = -\frac{1+v^2}{2v}.
   $$

3. **Aislar la derivada $$\frac{dv}{dx}$$.**  
   Restamos $$v$$ a ambos lados:
   $$
   x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v^2}{2v} - v.
   $$
   Escribamos $$v$$ con denominador común:
   $$
   -\frac{1+v^2}{2v} - v = -\frac{1+v^2 + 2v^2}{2v} = -\frac{1+3v^2}{2v}.
   $$
   Así,
   $$
   x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{2v}.
   $$

4. **Separar las variables.**  
   Multiplicamos ambos lados por $$\frac{2v}{1+3v^2}$$:
   $$
   \frac{2v}{1+3v^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.
   $$

5. **Integrar ambos lados.**  
   Integramos:
   $$
   \int \frac{2v}{1+3v^2}\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
   $$
   Para la integral del lado izquierdo, usamos la sustitución
   $$
   w = 1+3v^2,\quad \frac{dw}{dv} = 6v \quad \Rightarrow \quad dv = \frac{dw}{6v}.
   $$
   Entonces,
   $$
   \int \frac{2v}{w}\cdot\frac{dw}{6v} = \frac{1}{3}\int \frac{dw}{w} = \frac{1}{3}\ln|w| + C_1.
   $$
   Regresando a la variable $$v$$:
   $$
   \frac{1}{3}\ln|1+3v^2| = -\ln|x| + C_1.
   $$

6. **Reescribir la solución en términos de $$x$$ e $$y$$.**  
   Multiplicamos por 3:
   $$
   \ln|1+3v^2| = -3\ln|x| + C_2,
   $$
   donde $$C_2 = 3C_1$$.  
   Exponenciamos ambos lados:
   $$
   1+3v^2 = Cx^{-3}\quad \text{con } C>0 \text{ (constante arbitraria)}.
   $$
   Recordando que $$v = \frac{y}{x}$$, tenemos:
   $$
   1+3\left(\frac{y}{x}\right)^2 = Cx^{-3}.
   $$
   Multiplicamos ambos lados por $$x^2$$:
   $$
   x^2 + 3y^2 = Cx^{-1}.
   $$
   Finalmente, multiplicamos por $$x$$ para obtener una forma más usual:
   $$
   x^3 + 3xy^2 = C,
   $$
   donde $$C$$ es la constante de integración arbitraria.

La solución general de la ecuación diferencial es
$$
\boxed{x^3 + 3xy^2 = C.}
$$
La solución general de la ecuación diferencial es $$ x^3 + 3xy^2 = C $$, donde $$ C $$ es una constante.

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