Esercizio 4. Si consideri la curva algebrica \[ \mathscr{C}: x y\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}-y^{2}=0 \] (e) Calcolare la molteplicità di intersezione tra \( \mathscr{C} \) e l'asse \( x \) nei loro punti comuni.

Per trovare i punti di intersezione tra la curva algebrica \(\mathscr{C}\) e l'asse \(x\), dobbiamo impostare \(y=0\) nell'equazione della curva. Sostituendo \(y=0\) nell'equazione \[x \cdot 0 \cdot (x^2 + 0^2) + x^2 - 0^2 = 0\], otteniamo semplicemente \(x^2 = 0\), che implica che \(x=0\). Quindi, l'unico punto di intersezione è l'origine \((0, 0)\). Per calcolare la molteplicità di intersezione, dobbiamo calcolare la derivata parziale della funzione definita da \(\mathscr{C}\) rispetto a \(y\) e valutare questa derivata in \((0,0)\). La formula della molteplicità di intersezione è data dal numero massimo di soluzioni reali dell'equazione semplice risultante. Se le derivate parziali sono nulle, la molteplicità sarà maggiore di 1. In questo caso, dopo aver calcolato le derivate, ci rendiamo conto che la molteplicità di intersezione tra \(\mathscr{C}\) e l'asse \(x\) nei loro punti comuni è 2.