3наки корнсй квадратного уравнения. Іри каких значсниях параметра \( a \) все получаюшиеся корни

Для квадратного уравнения общего вида \[ ax^2 + bx + c = 0, \] знаки корней зависят от коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \). Рассмотрим условия, при которых оба корня уравнения имеют определённые знаки. **1. Условия существования вещественных корней:** Для того чтобы квадратное уравнение имело вещественные корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен: \[ D = b^2 - 4ac \geq 0. \] **2. Знаки корней в зависимости от коэффициентов:** Используем свойства суммы и произведения корней квадратного уравнения: - **Сумма корней:** \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) - **Произведение корней:** \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Рассмотрим различные случаи: ### А. Оба корня положительные Для того чтобы оба корня были **положительными**, должны выполняться следующие условия: 1. **Коэффициент \( a \) должен быть положительным:** \[ a > 0 \] 2. **Сумма корней должна быть положительной:** \[ -\frac{b}{a} > 0 \quad \Rightarrow \quad b < 0 \] 3. **Произведение корней должно быть положительным:** \[ \frac{c}{a} > 0 \quad \Rightarrow \quad c > 0 \] Таким образом, при \( a > 0 \), \( b < 0 \) и \( c > 0 \) оба корня квадратного уравнения будут положительными. ### В. Оба корня отрицательные Для того чтобы оба корня были **отрицательными**, должны выполняться следующие условия: 1. **Коэффициент \( a \) должен быть положительным:** \[ a > 0 \] 2. **Сумма корней должна быть отрицательной:** \[ -\frac{b}{a} < 0 \quad \Rightarrow \quad b > 0 \] 3. **Произведение корней должно быть положительным:** \[ \frac{c}{a} > 0 \quad \Rightarrow \quad c > 0 \] Таким образом, при \( a > 0 \), \( b > 0 \) и \( c > 0 \) оба корня квадратного уравнения будут отрицательными. ### С. Один корень положительный, другой отрицательный Если необходимо, чтобы один корень был положительным, а другой отрицательным, то выполняются следующие условия: 1. **Произведение корней должно быть отрицательным:** \[ \frac{c}{a} < 0 \] Это означает, что коэффициенты \( a \) и \( c \) имеют противоположные знаки: \[ a > 0 \) и \( c < 0, \quad \text{или} \quad a < 0 \) и \( c > 0. \] 2. **Дискриминант должен быть положительным:** \[ D = b^2 - 4ac > 0 \] Таким образом, при \( a \) и \( c \) имеющих противоположные знаки и \( D > 0 \) уравнение будет иметь по одному положительному и одному отрицательному корню. ### D. Коэффициент \( a \) отрицательный Если коэффициент \( a \) отрицательный (\( a < 0 \)), условия для знаков корней изменяются. Например: - **Оба корня положительные:** \[ a < 0, \quad b < 0, \quad c < 0 \] - **Оба корня отрицательные:** \[ a < 0, \quad b > 0, \quad c < 0 \] - **Один корень положительный, другой отрицательный:** \[ a < 0, \quad c > 0, \quad D > 0 \] ### Пример Рассмотрим конкретный пример для наглядности: **Задано квадратное уравнение:** \[ 2x^2 - 4x + 2 = 0. \] 1. **Вычислим дискриминант:** \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16 = 0. \] \[ D = 0 \Rightarrow \text{два совпадающих вещественных корня} \] 2. **Найдем корни:** \[ x = \frac{4}{2 \cdot 2} = 1 \] \[ x_1 = x_2 = 1 \] 3. **Анализ знаков:** Оба корня положительные, что соответствует условиям: \[ a = 2 > 0, \quad b = -4 < 0, \quad c = 2 > 0. \] Таким образом, при \( a > 0 \), \( b < 0 \) и \( c > 0 \) квадраты равнения имеют два положительных корня. ## Заключение Знаки корней квадратного уравнения зависят от знаков его коэффициентов и величины дискриминанта. При изменении параметра \( a \) (и, соответственно, остальных коэффициентов) можно определить, при каких значениях \( a \) оба корня уравнения будут положительными, отрицательными или имеющими разные знаки. Для конкретного уравнения следует подставлять значения коэффициентов и проверять соответствующие условия.